[论文解读] Gauging modulated symmetries: Kramers-Wannier dualities and non-invertible reflections

Salvatore D. Pace, Guilherme Delfino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2024

Molecular spectroscopy and chirality被引用 6

一句话总结

这篇论文研究在 1+1 维自旋链中量规化有限阿贝尔调制对称性，推导由反射实现的对偶性，并通过序列量子电路构建不可逆的反射算符。

ABSTRACT

Modulated symmetries are internal symmetries that act in a non-uniform, spatially modulated way and are generalizations of, for example, dipole symmetries. In this paper, we systematically study the gauging of finite Abelian modulated symmetries in ${1+1}$ dimensions. Working with local Hamiltonians of spin chains, we explore the dual symmetries after gauging and their potential new spatial modulations. We establish sufficient conditions for the existence of an isomorphism between the modulated symmetries and their dual, naturally implemented by lattice reflections. For instance, in systems of prime qudits, translation invariance guarantees this isomorphism. For non-prime qudits, we show using techniques from ring theory that this isomorphism can also exist, although it is not guaranteed by lattice translation symmetry alone. From this isomorphism, we identify new Kramers-Wannier dualities and construct related non-invertible reflection symmetry operators using sequential quantum circuits. Notably, this non-invertible reflection symmetry exists even when the system lacks ordinary reflection symmetry. Throughout the paper, we illustrate these results using various simple toy models.

研究动机与目标

• 在 1+1 维度对有限阿贝尔调制对称性的量规化进行表征。
• 理解在量规化后的对偶对称结构以及可能出现的新的空间调制。
• 确定通过晶格反射实现的原始与对偶调制对称性之间同构的条件。
• 在此框架中构建 Kramers-Wannier 对偶性和不可逆的反射算符。
• 通过明确的玩具模型和示例来说明该框架。

提出的方法

• 将调制对称性定义为通过同态 varphi 引入的带空间作用的半直接积。
• 使用键合代数来描述局部对称算符结构并推导高斯定律的量规映射。
• 展示双对称性生成子 U^vee 作为链接算符的乘积，并将其与被反射的原始对称性相联系。
• 在广义条件下证明一个同构 B ≃ M B^vee M^{-1}，由反射 M 实现。
• 通过在代表性模型中使用序列量子电路构造 KW 对偶性算符 D_M 和 D_KW。
• 为 Z_N 双极、四极和多极对称性开发一般的自对称性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 1+1 维度量规化有限阿贝尔调制对称性时，双对称性及其空间调制的结构是什么？
• RQ2 在哪些条件下，可以通过晶格反射实现原始与对偶 bond 代数之间的规范同构？
• RQ3 Kramers-Wannier 对偶如何作为 modulated symmetry 系统中的不可逆反射对称性体现？
• RQ4 能否在明确的玩具模型如偶极、四极和指数调制对称性这类具体玩具模型中实现自对称量规化和不可逆反射？
• RQ5 环论技巧在将量规化推广到非素数 N 的情形中起到的作用是什么？

主要发现

• 对于素数 p，在量规化一个指数调制的 Z_p 对称性后得到的对偶对称性仍然是指数的，其指数为 a^{-1} = a^{p-2}。
• 存在一个通过反射实现的原始与对偶 bond 代数之间的规范同构，在存在反射对称性时产生自对称。
• 当空间作用 varphi 在两者之间不同，通常对偶调制对称性与原始不同构，导致出现新的调制。
• 可以构造一个不可逆的反射算符 D_M，其融合集规则 D_M^2 与一个投影算符成比例，并且在自对称点产生 KW 型对偶性。
• 序列量规化可以通过逐步过程实现对非素数 N 调制对称性的量规化，保持与素数情况类似的键合代数形式。
• 该框架给出明确的不可逆 KW 算符 D_KW，并展示它们在 Z_N 偶极和指数对称性模型中的作用。