[论文解读] Gauging Non-Invertible Symmetries: Topological Interfaces and Generalized Orbifold Groupoid in 2d QFT

Oleksandr Diatlyk, Conghuan Luo+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2023

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文提出了一套框架，通过拓扑界面和广义小波群丛（generalized orbifold groupoids）来衡量二维量子场论中的非可逆对称性。研究证明，此前在范畴论中形式化的广义规范化（generalized gauging）可通过不同量子场论之间的拓扑界面实现物理化，从而实现系统性分类，并在共形场论中推导出新的自对偶性，包括在 Ising² CFT 中存在的无限多个非可逆自对偶性。

ABSTRACT

Gauging is a powerful operation on symmetries in quantum field theory (QFT), as it connects distinct theories and also reveals hidden structures in a given theory. We initiate a systematic investigation of gauging discrete generalized symmetries in two-dimensional QFT. Such symmetries are described by topological defect lines (TDLs) which obey fusion rules that are non-invertible in general. Despite this seemingly exotic feature, all well-known properties in gauging invertible symmetries carry over to this general setting, which greatly enhances both the scope and the power of gauging. This is established by formulating generalized gauging in terms of topological interfaces between QFTs, which explains the physical picture for the mathematical concept of algebra objects and associated module categories over fusion categories that encapsulate the algebraic properties of generalized symmetries and their gaugings. This perspective also provides simple physical derivations of well-known mathematical theorems in category theory from basic axiomatic properties of QFT in the presence of such interfaces. We discuss a bootstrap-type analysis to classify such topological interfaces and thus the possible generalized gaugings and demonstrate the procedure in concrete examples of fusion categories. Moreover we present a number of examples to illustrate generalized gauging and its properties in concrete conformal field theories (CFTs). In particular, we identify the generalized orbifold groupoid that captures the structure of fusion between topological interfaces (equivalently sequential gaugings) as well as a plethora of new self-dualities in CFTs under generalized gaugings.

研究动机与目标

• 将规范化的概念从可逆对称性扩展到二维 QFT 中的非可逆广义对称性。
• 通过不同 QFT 之间的拓扑界面，为融合范畴中的代数对象和模范畴提供物理解释。
• 建立一种系统化方法，利用自举分析（bootstrap analysis）和拓扑界面融合来分类广义规范化。
• 展示在广义规范化下，共形场论中出现的新自对偶性和隐藏结构。
• 从具有拓扑界面的 QFT 物理公理出发，推导范畴论中的数学定理，例如模范畴的性质。

提出的方法

• 将广义规范化表述为涉及不同 QFT 之间拓扑界面的物理过程，将代数对象和模范畴等数学结构与可观测的 QFT 现象联系起来。
• 利用二维 QFT 中的拓扑缺陷线（TDLs）来表示非可逆对称性，其融合规则由融合范畴编码。
• 采用自举方法对拓扑界面进行分类，实现对可能广义规范化及其一致性条件的枚举。
• 引入广义小波群丛以描述连续规范化和拓扑界面的融合，捕捉多重规范化的代数结构。
• 利用维度约束和量子维条件筛选可用于规范化的可行代数对象，例如 WZW 模型中的二元代数。
• 即使在缺乏完整 F-符号数据的情况下，也通过物理一致性条件固定对偶代数的 F-符号和乘法态射。

Figure 1 : Positive configurations of TDLs in the positive gauge ( $\theta_{ijk}>0$ ) for the F-matrices.

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维 QFT 中，非可逆对称性如何被规范化？其背后的物理机制是什么？
• RQ2 拓扑界面在实现广义规范化以及连接不同 QFT 中起什么作用？
• RQ3 如何构建广义小波群丛以描述连续规范化和拓扑界面的融合？
• RQ4 在何种条件下，广义规范化会导致共形场论中的自对偶性？
• RQ5 如何利用 QFT 的物理公理推导范畴论中的数学定理，例如模范畴的性质？

主要发现

• 本文在 Ising² CFT 中识别出一个无限族的非可逆自对偶性，其源于对一个具有非可逆 TDL 的秩-4 融合范畴的广义规范化。
• 在 Spin(5)₁ CFT 中构造出一个对偶二元代数 B = 1 ⊕ D₁′′，其量子维 ⟨D₁′′⟩ = 2 − √3，当用于 B-网格装饰时，可重现 SU(2)₁₀ CFT 的对角模不变量。
• 通过物理一致性条件显式计算了对偶代数的乘法态射，得到 m₄₄⁴ = √(√3 − 1) 和 m₄₄¹ = 1/√(3 + √3)，而无需完整 F-符号数据。
• 推导出 Rep(H₈) 和 Rep(D₈) 的广义小波群丛，表明拓扑界面的融合对应于群论型融合范畴上的模范畴。
• 在 Ising² CFT 中，证明了连续非可逆对称性的存在导致广义规范化空间为无限维，暗示存在一个丰富的对偶性网络。
• 在 SU(2)₁₀ CFT 中，对偶代数的构造被验证可重现正确的环面划分函数，从而验证了该框架的物理一致性。

Figure 4 : The separability, associativity, Frobenius, and unit conditions on the algebra object $(A,m,m^{\dagger},u,u^{\dagger})$ . Here we have written them in the positive gauge. In the general gauge, the comultiplication morphism $m^{\dagger}$ and the counit $u^{\dagger}$ should be replaced by $