[论文解读] Gauging Noninvertible Defects: A 2-Categorical Perspective

Thibault D. Décoppet, Matthew Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

该论文将量子场论中异常的概念推广至非可逆对称性，通过表面算符实现，并采用2-范畴框架。它证明了在多重融合2-范畴中凝聚任意交换或对称的可分代数，可得到具有受控张量结构的新多重融合2-范畴，并证明每个对称融合2-范畴均存在一个到2SVec的纤维2-函子，通过费米子凝聚解决了障碍问题。

ABSTRACT

We generalize the notion of an anomaly for a symmetry to a noninvertible symmetry enacted by surface operators using the framework of condensation in 2-categories. Given a multifusion 2-category, potentially with some additional levels of monoidality, we prove theorems about the structure of the 2-category obtained by condensing a suitable algebra object. We give examples where the resulting category displays grouplike fusion rules and through a cohomology computation, find the obstruction to condensing further to the vacuum theory.

研究动机与目标

• 将异常的概念从可逆对称性推广至拓扑场论中由表面算符实现的非可逆对称性。
• 为使用多重融合2-范畴中的可分代数，构建凝聚非可逆对称性的2-范畴框架。
• 确定非可逆对称性可完全凝聚至真空理论的条件。
• 以辫子或双线性2-范畴中的上同调类形式，对凝聚至真空的障碍进行分类。
• 证明每个对称融合2-范畴均存在一个到2SVec的纤维2-函子，尤其在费米子情形下障碍消失。

提出的方法

• 使用2-范畴中的凝聚框架，通过多重融合2-范畴中的可分代数对象建模非可逆对称性。
• 应用2-函子与纤维序列理论，分析凝聚后所得范畴的结构。
• 利用谱序列，特别是Atiyah-Hirzebruch谱序列，计算有限阿贝尔群E的超上同调群SH7(E[4])。
• 利用Eilenberg-MacLane谱与同伦论工具，对谱之间的映射进行分类，将其与障碍类关联。
• 分析上同调群H7(E[4]; C×)与SH7(E[4])，以确定玻色子与费米子情形下障碍的消失条件。
• 应用Deligne型定理与双线性数据，表征凝聚范畴的张量结构，尤其在对称与双线性情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将非可逆对称性（由表面算符实现）的异常概念推广至2-范畴？
• RQ2 在辫子或双线性多重融合2-范畴中，凝聚可分代数在何种条件下可产生结构良好的融合2-范畴？
• RQ3 在辫子2-范畴中，阻碍进一步凝聚至真空理论的上同调障碍是什么？
• RQ4 每个对称融合2-范畴是否都能凝聚为对称强融合2-范畴？它是否接受一个到2SVec的纤维2-函子？
• RQ5 为何在费米子情形（2SVec）下障碍消失？这与涌现费米子有何关联？

主要发现

• 在辫子多重融合2-范畴中凝聚辫子可分代数，可得到多重融合2-范畴，如定理A所证明。
• 在双线性多重融合2-范畴中凝聚对称可分代数，可得到辫子多重融合2-范畴，如定理B所述。
• 在双线性2-范畴的对称中心中凝聚对称可分代数，可得到双线性多重融合2-范畴；若原范畴为对称，则结果亦为对称，如定理C所述。
• 将强融合2-范畴凝聚至真空的障碍由H7(E[4]; C×)中的上同调类捕获，该类在费米子情形下消失。
• 对任意有限阿贝尔群E，超上同调群SH7(E[4])消失，意味着每个对称融合2-范畴均存在一个到2SVec的纤维2-函子。
• 每个对称强融合2-范畴均与2SVec[E]对等，其中E为某有限阿贝尔群，如命题5.2所示。