[论文解读] Gauging spacetime inversions in quantum gravity

Daniel Harlow, Tokiro Numasawa|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2023

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 4

一句话总结

本文主张，在量子引力中，由于全局对称性的缺失，时空反演对称性（如 $ΓΓΓ$）必须被规范。它表明，欧几里得路径积分自动实现 $ΓΓΓ$ 对称性，强制闭合宇宙中的希尔伯特空间为实空间，并要求包含非时间定向的洛伦兹流形——证明了此类几何结构在 AdS/CFT 中的一致性中至关重要。

ABSTRACT

Spacetime inversion symmetries such as parity and time reversal play a central role in physics, but they are usually treated as global symmetries. In quantum gravity there are no global symmetries, so any spacetime inversion symmetries must be gauge symmetries. In particular this includes $\mathcal{CRT}$ symmetry (in even dimensions usually combined with a rotation to become $\mathcal{CPT}$), which in quantum field theory is always a symmetry and seems likely to be a symmetry of quantum gravity as well. In this article we discuss what it means to gauge a spacetime inversion symmetry, and we explain some of the more unusual consequences of doing this. In particular we argue that the gauging of $\mathcal{CRT}$ is automatically implemented by the sum over topologies in the Euclidean gravity path integral, that in a closed universe the Hilbert space of quantum gravity must be a real vector space, and that in Lorentzian signature manifolds which are not time-orientable must be included as valid configurations of the theory. In particular we give an example of an asymptotically-AdS time-unorientable geometry which must be included to reproduce computable results in the dual CFT.

研究动机与目标

• 理解在量子引力中规范时空反演对称性（特别是 $ΓΓΓ$）的含义。
• 解决 $ΓΓΓ$ 在量子场论中为对称性，而在量子引力中全局对称性缺失之间的张力。
• 确立 $ΓΓΓ$ 对称性通过欧几里得路径积分中的拓扑求和自动实现。
• 表明在闭合宇宙中，由于反幺正时间反演对称性，量子引力的希尔伯特空间必须是实向量空间。
• 论证非时间定向洛伦兹流形必须作为物理配置包含在量子引力路径积分中。

提出的方法

• 分析从欧几里得到洛伦兹度规的 $ΓΓΓ$ 的解析继续，其中它对应于一个空间方向与时间所在平面内的 $π$ 旋转。
• 利用欧几里得量子引力的路径积分公式，论证拓扑求和自然地将 $ΓΓΓ$ 实现为规范对称性。
• 应用反幺正时间反演算符在闭合宇宙中将希尔伯特空间投影到实向量空间的论点。
• 构造一个渐近 AdS 的、非时间定向的时空的显式例子，证明必须将其包含以重现 CFT 关联函数。
• 采用共形框架变换和全纯变换函数，推导出将绕数与欧拉示性数联系起来的拓扑公式。
• 利用高斯-博内定理和三角剖分，将欧拉密度与共形框架在图块重叠区域的卷绕联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏全局对称性的前提下，如何在量子引力中一致地规范时空反演对称性（如 $ΓΓΓ$）？
• RQ2 在闭合宇宙中规范一个反幺正对称性（如时间反演）会产生哪些物理后果？
• RQ3 为何必须在量子引力路径积分中包含非时间定向洛伦兹流形？
• RQ4 欧几里得路径积分中的拓扑求和如何强制实现 $ΓΓΓ$ 对称性？
• RQ5 共形框架的绕数在量子引力中确定二维曲面欧拉示性数时起什么作用？

主要发现

• $ΓΓΓ$ 对称性在欧几里得引力路径积分的拓扑求和中自动实现，使其成为量子引力路径积分的基本特征。
• 在闭合宇宙中，由于 $ΓΓΓ$ 算符的反幺正性质，量子引力的希尔伯特空间必须是实向量空间，这意味着物理态在复共轭和时间反演下保持不变。
• 非时间定向洛伦兹流形必须作为量子引力路径积分中的有效配置被包含，这一点通过渐近 AdS 时空中的具体例子得到证明。
• 在路径积分中包含非时间定向几何结构是重现双胞胎 CFT 中可计算结果的必要条件，表明其物理必要性。
• 共形框架在图块重叠区域的卷绕与欧拉示性数通过高斯-博内定理导出的拓扑公式直接相关。
• 公式 $\chi(\Sigma) = \sum_{\alpha<\beta<\gamma} \int_{V_{\alpha\beta\gamma}} w_{\alpha\beta\gamma} $ 表明，欧拉示性数计数了共形框架在三重重叠区域的总绕数。