[论文解读] Gaussian approximations for chemostat models in finite and infinite dimensions

Bertrand Cloez, Coralie Fritsch|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文建立了质量结构化个体基底连续培养器模型中波动过程的中心极限定理，证明了其在Sobolev空间中弱收敛于无穷维高斯过程。对于二维的Crump-Young模型，推导出一个具有显式不变分布和灭绝时间行为的随机微分方程近似，解决了此前长期误解的长期动力学行为。

ABSTRACT

In a chemostat, bacteria live in a growth container of constant volume in which liquid is injected continuously. Recently, Campillo and Fritsch introduced a mass-structured individual-based model to represent this dynamics and proved its convergence to a more classic partial differential equation. In this work, we are interested in the convergence of the fluctuation process. We consider this process in some Sobolev spaces and use central limit theorems on Hilbert space to prove its convergence in law to an infinite-dimensional Gaussian process.As a consequence, we obtain a two-dimensional Gaussian approximation of the Crump-Young model for which the long time behavior is relatively misunderstood. For this approximation, we derive the invariant distribution and the convergence to it. We also present numerical simulations illustrating our results.

研究动机与目标

• 解决长期存在的挑战：理解随机Crump-Young模型的长期行为，该模型此前缺乏对灭绝和拟平稳分布的完整刻画。
• 通过证明波动过程的弱收敛性，将个体基底连续培养器模型的确定性收敛扩展到波动尺度，收敛于高斯过程。
• 在Sobolev空间中为测度值过程提供一个严格的无穷维中心极限定理，克服了有符号测度空间不可度量化的困难。
• 为Crump-Young模型推导出一个随机微分方程近似，以捕捉其不变分布和灭绝时间的动力学行为。
• 通过数值模拟验证该近似，并与在某些参数区域中更贴近原模型行为的其他扩散过程进行比较。

提出的方法

• 将连续培养器建模为具有离散出生/死亡事件和连续底物动态的质量结构化个体基底过程，使用有符号测度值过程表示种群和底物水平。
• 在Sobolev空间框架下应用紧致性-唯一性论证，证明归一化波动过程弱收敛于无穷维退化高斯过程。
• 利用希尔伯特空间上的鞅技术（参考Métivier, 1984）建立紧致性，借助Sobolev空间的希尔伯特空间结构来处理过程的有符号测度性质。
• 通过聚焦于二维的Crump-Young模型，将模型简化为有限维：将种群和底物聚合为单一的种群质量和底物浓度。
• 通过在有限维空间中应用中心极限定理，为Crump-Young模型推导出一个随机微分方程近似，得到一个漂移和扩散系数由原模型导出的扩散过程。
• 应用伊藤公式和Feller的爆炸测试分析扩散近似的灭绝时间，证明在生长函数的一般条件下，灭绝在有限时间内发生的概率为正。

实验结果

研究问题

• RQ1 质量结构化个体基底连续培养器模型的波动过程是否能在无穷维空间中弱收敛于高斯过程？
• RQ2 随机Crump-Young模型的长期行为如何，特别是其不变分布和灭绝时间的存在性与性质？
• RQ3 从中心极限定理导出的高斯近似与原Crump-Young模型在数值行为和灭绝动力学方面相比如何？
• RQ4 Crump-Young模型的扩散近似在何种条件下以正概率在有限时间内灭绝？
• RQ5 该随机近似的不变分布能否显式刻画，且是否反映原模型的真实长期行为？

主要发现

• 个体基底连续培养器模型的归一化波动过程在适当的Sobolev空间中依分布收敛于无穷维退化高斯过程。
• 对于二维Crump-Young模型，中心极限定理导出的随机微分方程近似具有显式刻画的不变分布。
• 扩散近似的灭绝时间几乎必然为有限值，且对所有正初始条件，灭绝在任意有限时间区间内发生的概率为正。
• 灭绝时间分布满足一种L yapunov型条件，且该过程表现出一个拟平稳分布，其满足由Fokker-Planck方程导出的必要条件。
• 数值模拟证实，在某些参数区域中，所推导的扩散过程比其他近似更准确地模拟了原Crump-Young模型的行为，尤其在捕捉灭绝动力学方面表现更优。
• 该结果在不假设生长函数单调性的前提下，为Crump-Young模型在有限时间内灭绝提供了新证明，扩展了Collet等人（2013a）的先前结果。