[论文解读] Gaussian Behavior of the Number of Summands in Zeckendorf Decompositions in Small Intervals

Andrew Best, Patrick Dynes+6 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用 11

一句话总结

该论文证明，当子区间的长度通过 $F_{\beta(n)}$ 随 $n$ 增大时，对 $[F_n, F_{n+1})$ 内整数的 Zeckendorf 分解中加数个数，在适当归一化后，其分布收敛于正态分布。关键洞见在于，对几乎所有 $m$，其分解中存在足够大的间隙，使得可建立到 $[0, F_{\alpha(n)})$ 的双射，而该区域的高斯行为已知，从而将分布结果转移至更小的区间。

ABSTRACT

Zeckendorf's theorem states that every positive integer can be written uniquely as a sum of non-consecutive Fibonacci numbers ${F_n}$, with initial terms $F_1 = 1, F_2 = 2$. We consider the distribution of the number of summands involved in such decompositions. Previous work proved that as $n o \infty$ the distribution of the number of summands in the Zeckendorf decompositions of $m \in [F_n, F_{n+1})$, appropriately normalized, converges to the standard normal. The proofs crucially used the fact that all integers in $[F_n, F_{n+1})$ share the same potential summands. We generalize these results to subintervals of $[F_n, F_{n+1})$ as $n o \infty$; the analysis is significantly more involved here as different integers have different sets of potential summands. Explicitly, fix an integer sequence $α(n) o \infty$. As $n o \infty$, for almost all $m \in [F_n, F_{n+1})$ the distribution of the number of summands in the Zeckendorf decompositions of integers in the subintervals $[m, m + F_{α(n)})$, appropriately normalized, converges to the standard normal. The proof follows by showing that, with probability tending to $1$, $m$ has at least one appropriately located large gap between indices in its decomposition. We then use a correspondence between this interval and $[0, F_{α(n)})$ to obtain the result, since the summands are known to have Gaussian behavior in the latter interval. % We also prove the same result for more general linear recurrences.

研究动机与目标

• 将已知的完整区间 $[F_n, F_{n+1})$ 中加数个数的正态分布结果，推广至更小的子区间。
• 确定子区间大小满足何种条件时，Zeckendorf 分解中加数个数的分布仍渐近正态。
• 识别 $m \in [F_n, F_{n+1})$ 的结构特性，使得可将 $[0, F_{\alpha(n)})$ 中的分布结果转移至 $[m, m + F_{\alpha(n)})$。
• 证明当子区间长度为 $F_{\alpha(n)}$ 且 $\alpha(n) \to \infty$、$n - \alpha(n) \to \infty$ 时，几乎所有 $m$ 在 $[F_n, F_{n+1})$ 中均满足高斯行为。

提出的方法

• 通过利用 $m$ 的分解中中间索引处至少长度为 2 的间隙，建立 $[m, m + F_{\alpha(n)})$ 中 Zeckendorf 分解与 $[0, F_{\alpha(n)})$ 中分解之间的双射。
• 使用平移论证，将 $[m, m + F_{\alpha(n)})$ 中加数个数的分布与 $[0, F_{\alpha(n)})$ 中的分布关联，误差由函数 $q(n)$ 控制。
• 应用已知结果：当归一化时，$[0, F_{\alpha(n)})$ 中加数个数的分布收敛于正态分布，其均值约为 $\alpha(n)/(\varphi + 2)$，方差约为 $\varphi \alpha(n)/(5(\varphi + 2))$。
• 将 $[m, m + F_{\alpha(n)})$ 与 $[0, F_{\alpha(n)})$ 中归一化后加数个数的差异控制在 $q(n)/\sigma_y(n)$ 以内，并要求 $q(n) = o(\sqrt{n})$，以确保收敛于标准正态分布。
• 利用在间隙条件下，两个区间中归一化后加数个数的累积分布函数渐近等价的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $[F_n, F_{n+1})$ 的哪些子区间中，Zeckendorf 分解中加数个数的分布收敛于正态分布？
• RQ2 $m \in [F_n, F_{n+1})$ 的何种结构条件可使分布结果从 $[0, F_{\alpha(n)})$ 顺利转移至 $[m, m + F_{\alpha(n)})$？
• RQ3 子区间 $[m, m + F_{\alpha(n)})$ 最小可小至何种程度，仍能保持加数个数的高斯行为？
• RQ4 在 $m$ 的 Zeckendorf 表示中，间隙在实现分布转移中起到何种作用？

主要发现

• 对于任意趋于无穷的递增函数 $\alpha(n)$，且满足 $\alpha(n) \to \infty$ 与 $n - \alpha(n) \to \infty$，在几乎所有的 $m \in [F_n, F_{n+1})$ 中，$[m, m + F_{\alpha(n)})$ 内整数的 Zeckendorf 分解中加数个数的分布收敛于标准正态分布。
• 当 $m$ 的 Zeckendorf 表示中存在长度至少为 2 的间隙时，该收敛性成立，且当 $n \to \infty$ 时，该概率趋于 1。
• 归一化后 $[m, m + F_{\alpha(n)})$ 中的加数个数与 $[0, F_{\alpha(n)})$ 中的加数个数渐近等价，其差异受 $q(n)/\sigma_y(n)$ 控制，其中 $q(n) = o(\sqrt{n})$。
• $[0, F_{\alpha(n)})$ 中加数个数的均值渐近为 $\alpha(n)/(\varphi + 2)$，方差为 $\sim \varphi \alpha(n)/(5(\varphi + 2))$，其中 $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2$。
• 该结果可推广至更一般的线性递推序列，尽管技术复杂度随之增加。