[论文解读] Gaussian comparison and anti-concentration inequalities for norms of Gaussian random elements

Friedrich Götze, Alexey Naumov+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2017

Point processes and geometric inequalities被引用 3

一句话总结

本文建立了希尔伯特空间中两个高斯元素落入球内的概率之间柯尔莫哥洛夫距离的无维数、非渐近界，利用其协方差算子差的核范数和均值偏移的范数。此外，通过皮斯基尔不等式，本文进一步推导出非中心高斯元素平方范数的反集中不等式，显著改进了现有界。

ABSTRACT

We derive tight non-asymptotic bounds for the Kolmogorov distance between the probabilities of two Gaussian elements to hit a ball in a Hilbert space. The key property of these bounds is that they are dimension-free and depend on the nuclear (Schatten-one) norm of the difference between the covariance operators of the elements and on the norm of the mean shift. The obtained bounds significantly improve the bound based on Pinsker's inequality via the Kullback-Leibler divergence. We also establish an anti-concentration bound for a squared norm of a non-centered Gaussian element in Hilbert space. The paper presents a number of examples motivating our results and applications of the obtained bounds to statistical inference and to high-dimensional CLT.

研究动机与目标

• 推导希尔伯特空间中两个高斯元素击中球的概率之间柯尔莫哥洛夫距离的非渐近、无维界。
• 通过使用协方差差的核范数和均值偏移范数，改进基于Kullback-Leibler散度的皮斯基尔不等式所得界。
• 建立希尔伯特空间中非中心高斯元素平方范数的反集中不等式。
• 展示这些界在高维中心极限定理和统计推断中的应用。

提出的方法

• 分析利用两个高斯元素协方差算子差的核范数（Schatten-1范数）作为关键度量。
• 方法采用无限维希尔伯特空间中高斯测度的比较技术，聚焦于元素落入球内概率的分析。
• 应用反集中工具，推导非中心高斯元素平方范数集中性的界。
• 界不依赖于希尔伯特空间的维数，确保在高维设置中的适用性。
• 该方法依赖于针对希尔伯特空间中高斯过程量身定制的函数不等式与比较原理。
• 通过实例验证理论结果，说明界之紧致性与实际相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以无维方式界定希尔伯特空间中两个高斯元素击中球的概率之间的柯尔莫哥洛夫距离？
• RQ2 此类界对协方差差的核范数与均值偏移的依赖关系最优为何种形式？
• RQ3 能否在希尔伯特空间中为非中心高斯元素的平方范数建立反集中不等式？
• RQ4 与基于Kullback-Leibler散度的现有界相比，这些界在高维情形下表现如何？
• RQ5 这些界对统计推断和高维中心极限定理有何影响？

主要发现

• 本文推导出与希尔伯特空间维数无关的紧致非渐近界，适用于柯尔莫哥洛夫距离。
• 界显式依赖于协方差算子差的核范数与均值偏移的范数，精确量化了差异程度。
• 通过Kullback-Leibler散度与皮斯基尔不等式改进的界在高维情形下表现更优。
• 建立了非中心高斯元素平方范数的反集中不等式，量化了其分布的离散程度。
• 结果被应用于高维中心极限定理与统计推断，展示了其实际效用。
• 论文中的实例说明了界之紧致性与无维特性在具体场景中的表现。