[论文解读] Gaussian Cooling and O*(n^3) Algorithms for Volume and Gaussian Volume

Ben Cousins, Santosh Vempala|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对具有良好条件的凸体的 $O^{*}(n^3)$ 随机算法，通过在高斯退火中采用一种新颖的加速冷却调度，实现了体积估计，首次在不依赖未解决的 KLS 猜想的前提下，达到了 $O^{*}(n^3)$ 的复杂度。该方法利用了对凸体上高斯分布的改进采样，证明了球面对称高斯分布下 KLS 猜想成立，从而实现了相同渐近复杂度下的高效体积与高斯体积估计。

ABSTRACT

We present an $O^*(n^3)$ randomized algorithm for estimating the volume of a well-rounded convex body given by a membership oracle, improving on the previous best complexity of $O^*(n^4)$. The new algorithmic ingredient is an accelerated cooling schedule where the rate of cooling increases with the temperature. Previously, the known approach for potentially achieving this asymptotic complexity relied on a positive resolution of the KLS hyperplane conjecture, a central open problem in convex geometry. We also obtain an $O^*(n^3)$ randomized algorithm for integrating a standard Gaussian distribution over an arbitrary convex set containing the unit ball. Both the volume and Gaussian volume algorithms use an improved algorithm for sampling a Gaussian distribution restricted to a convex body. In this latter setting, as we show, the KLS conjecture holds and for a spherical Gaussian distribution with variance $σ^2$, the sampling complexity is $O^*(\max\{n^3, σ^2n^2\})$ for the first sample and $O^*(\max\{n^2, σ^2n^2\})$ for every subsequent sample.

研究动机与目标

• 开发一种更快的随机算法，用于估计通过成员查询预言机给出的凸体体积。
• 在不假设 KLS 超平面猜想的前提下，突破先前 $O^{*}(n^4)$ 的体积计算复杂度瓶颈。
• 为包含单位球的凸体上标准高斯分布的积分，建立 $O^{*}(n^3)$ 的算法。
• 证明在凸体上受限的球面对称高斯分布下，KLS 猜想成立，从而实现更快的采样。
• 将 STOC 2015 和 SODA 2014 的先前成果统一并扩展为一个更优的框架，用于体积与高斯体积估计。

提出的方法

• 引入一种新型加速冷却调度，其中冷却速率随温度升高而加快，从而在模拟退火类算法中提升收敛性。
• 使用一系列凸体 $K_i = 2^{i/n}B_n \cap K$ 逐步从一个较小的球体缩放至目标体 $K$，并通过采样估计体积比。
• 应用一种连续的随机游走（球面游走），并利用球面对称高斯分布下 KLS 猜想成立的事实，获得改进的混合时间界。
• 证明对于方差为 $\sigma^2$ 的球面对称高斯分布，首次采样的复杂度为 $O^{*}(\max\{n^3, \sigma^2 n^2\})$，后续采样的复杂度为 $O^{*}(\max\{n^2, \sigma^2 n^2\})$。
• 使用集中不等式（切比雪夫与马尔可夫不等式）控制体积比乘积估计中的误差，确保高概率正确性。
• 采用预处理步骤将凸体置于近似等分布位置，确保其具有良好条件性，使得对均匀分布 $X \in K$ 有 $\mathbb{E}(\|X\|^2) = O^{*}(n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设 KLS 超平面猜想的前提下，将先前体积估计算法的 $O^{*}(n^4)$ 复杂度降低至 $O^{*}(n^3)$？
• RQ2 KLS 猜想是否对受限于凸体的高斯分布成立，从而实现更快的采样？
• RQ3 能否对加速冷却调度进行严格分析，以在体积计算中实现 $O^{*}(n^3)$ 的复杂度？
• RQ4 从凸体中进行均匀采样的摊销成本是否渐近等价于体积估计的成本？
• RQ5 该框架能否扩展至对凸体上的一般对数凹函数进行积分，且复杂度相似？

主要发现

• 本文实现了对任意包含单位球且包含于半径为 $O^{*}(\sqrt{n})$ 的球体内的良好条件凸体的 $O^{*}(n^3)$ 随机算法，用于体积估计。
• 对于包含单位球的凸体上高斯体积的估计，该算法运行时间为 $O^{*}(n^3)$，与体积计算的复杂度一致。
• 证明了在凸体上受限的球面对称高斯分布下，KLS 猜想成立，从而实现了复杂度为 $O^{*}(\max\{n^3, \sigma^2 n^2\})$ 的首次采样。
• 从同一高斯分布生成后续样本的时间复杂度为 $O^{*}(\max\{n^2, \sigma^2 n^2\})$，优于先前的采样复杂度。
• 通过结合加速冷却与已证明 KLS 情况下的改进混合时间界，该算法在体积计算中实现了 $O^{*}(n^3)$ 的复杂度。
• 采样的摊销成本现在渐近等价于体积计算的成本，相较于先前算法中采样便宜 $n$ 倍，这是显著的改进。