[论文解读] Gaussian Laser Beams via Oblate Spheroidal Waves

Kirk T. McDonald|ArXiv.org|Dec 3, 2003

Orbital Angular Momentum in Optics参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文推导了在扁球坐标系中满足傍轴高斯激光束的亥姆霍兹方程近似解，表明这些解对应于高斯-拉盖尔模。关键结果是，此类模中的每个光子携带轨道角动量 $\pm m\hbar$，其角动量与能量之比为 $\pm m/\omega$，证实了聚焦光束中光的轨道角动量的量子解释。

ABSTRACT

We deduce a set of circularly polarized Gaussian laser beam modes via a separation-of-variables solution to the Helmholtz wave equation in oblate spheriodal coordinates. On transforming to cylindrical coordinates these become the well-known Gaussian-Laguerre modes.

研究动机与目标

• 推导出在扁球坐标系中满足傍轴高斯激光束的亥姆霍兹方程的一套系统近似解。
• 建立精确的扁球坐标系波动函数与激光物理中常用的傍轴近似之间的联系。
• 证明所得模对应于具有明确轨道角动量的高斯-拉盖尔光束。
• 推导角动量密度与能量密度之比，确认每个光子的轨道角动量的量子解释。

提出的方法

• 使用扁球坐标系 $({\small{\raise 2.0pt\hbox{$\zeta$}}}, \xi, \phi)$，其中 $z_0$ 为瑞利范围，定义 $\sigma = z_0^2(1 - \xi^2)/w_0^2$ 以归一化横向坐标。
• 通过假设 $\xi \approx 1$ 应用傍轴近似，使得 $\sigma \approx (\theta / \theta_0)^2$，其中 $\theta_0 = \lambda / (\pi w_0)$ 为衍射角。
• 构造波函数 $\psi_n^m = Z_n^m({\small{\raise 2.0pt\hbox{$\zeta$}}}) S_n^m(\sigma) e^{\pm im\phi}$，其中 $S_n^m(\sigma)$ 为调制高斯函数，形式为 $\sigma^{m/2} e^{-\sigma}$。
• 在傍轴极限下求解该坐标系中的亥姆霍兹方程，识别出 $Z_n^m$ 为远场中的调制球面波。
• 使用矢势 $A_z$ 计算电磁场，进而推导远场中的坡印廷矢量与动量密度。
• 计算角动量密度 $\langle l_z \rangle$ 与能量密度 $\langle u \rangle$，得到比值 $\langle l_z \rangle / \langle u \rangle \approx \pm m / \omega$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从扁球坐标系中亥姆霍兹方程的精确解系统地推导出傍轴高斯激光束？
• RQ2 在扁球坐标系波动函数的背景下，瑞利范围 $z_0$ 的物理意义是什么？
• RQ3 所得模如何与具有轨道角动量的高斯-拉盖尔光束相关联？
• RQ4 这些光束中角动量密度与能量密度之比是多少，其对每个光子的角动量意味着什么？
• RQ5 坡印廷矢量如何获得方位角分量，这对光束中能量流动意味着什么？

主要发现

• 在高斯-拉盖尔模中，角动量密度与能量密度之比为 $\langle l_z \rangle / \langle u \rangle \approx \pm m / \omega$，证实每个光子携带轨道角动量 $\pm m\hbar$。
• 远场中的动量密度近似为 $\langle \mathbf{p} \rangle \approx \langle u \rangle / c \left( \hat{\mathbf{z}} + \theta \hat{\mathbf{r}}_{\perp} \mp \frac{m}{k r_{\perp}} \hat{\phi} \right)$，表明能量呈螺旋形流动。
• 横向场分量 $B_\perp$ 与 $B_\phi$ 源于矢势 $A_z \propto \rho^m e^{-f\rho^2} L_n^m(2\sigma)$，其中在远场中 $f \approx -i z_0 / r$。
• 在远场中，径向导数满足 $\partial A_z / \partial \rho \approx 2i (\theta / \theta_0) A_z$，这导致角动量表达式中的关键量级关系。
• 能量密度 $\langle u \rangle \approx \frac{1}{2\pi w_0^2} \frac{\theta^2}{\theta_0^2} |A_z|^2$ 与角动量密度 $\langle l_z \rangle \approx \frac{m}{2\pi \omega w_0^2} \frac{\theta^2}{\theta_0^2} |A_z|^2$ 被一致推导出。
• 由于动量密度中存在 $\pm m \hat{\phi}$ 分量，光束在远场中的能量流变为螺旋形，其螺旋螺距由 $m$ 决定。