[论文解读] Gaussian Matrix Product States

Norbert Schuch, Michael M. Wolf+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

该论文提出了高斯矩阵乘积态（GMPS），将有限维自旋系统的矩阵乘积态（MPS）推广至谐振子格点系统，采用基于高斯纠缠的构造方法，类似于有限维MPS的构造方式。证明了所有一维纯GMPS均表现出指数衰减的关联性，并且是局部二次哈密顿量的基态，其关联长度由傅里叶变换后的协方差矩阵在单位圆内的极点决定。

ABSTRACT

We introduce Gaussian Matrix Product States (GMPS), a generalization of Matrix Product States (MPS) to lattices of harmonic oscillators. Our definition resembles the interpretation of MPS in terms of projected maximally entangled pairs, starting from which we derive several properties of GMPS, often in close analogy to the finite dimensional case: We show how to approximate arbitrary Gaussian states by MPS, we discuss how the entanglement in the bonds can be bounded, we demonstrate how the correlation functions can be computed from the GMPS representation, and that they decay exponentially in one dimension, and finally relate GMPS and ground states of local Hamiltonians.

研究动机与目标

• 将矩阵乘积态（MPS）从有限维自旋系统推广至连续变量的谐振子系统。
• 构建一个保留有限维MPS纠缠构造特性的高斯MPS框架。
• 表征一维系统中高斯MPS的关联结构与纠缠性质。
• 建立GMPS与局部二次哈密顿量基态之间的对应关系。
• 通过常数参数化方法，实现对无限链中高斯态的高效变分模拟。

提出的方法

• 通过作用于最大纠缠的玻色模式对的线性映射来定义GMPS，将MPS构造推广至连续变量系统。
• 在傅里叶空间中表示GMPS的协方差矩阵，其形式为余弦函数的有理函数，矩阵元素由cos(ϕ)的多项式之比给出。
• 利用留数理论，从傅里叶表示中计算实空间中的两点关联函数。
• 通过分析复平面上有理函数极点的位置，特别是单位圆内的最大极点，推导出关联长度。
• 通过反转哈密顿量傅里叶变换与态的协方差矩阵之间的关系，构造一个其基态即为给定GMPS的局部二次哈密顿量。
• 证明：一个局部哈密顿量具有GMPS作为其基态，当且仅当其哈密顿量矩阵的行列式是cos(ϕ)的某个多项式的平方。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持纠缠结构与高效计算等关键性质的前提下，将矩阵乘积态推广至谐振子系统？
• RQ2 在一维高斯矩阵乘积态中，两点关联函数的行为如何？
• RQ3 高斯MPS中的关联长度由什么决定，能否显式计算？
• RQ4 在何种条件下，高斯MPS是某个局部二次哈密顿量的精确基态？
• RQ5 在热力学极限下，能否使用常数个参数的GMPS对平移不变的高斯态进行高效参数化？

主要发现

• 所有一维谐振子链上的纯平移不变高斯态均可精确表示为高斯矩阵乘积态。
• 一维GMPS中的两点关联函数随距离呈指数衰减，关联长度由傅里叶变换协方差矩阵在单位圆内的主导极点位置决定。
• 关联长度显式由单位圆内分母多项式d(z)的最大零点模长的负对数给出。
• 每个GMPS都是某个局部二次哈密顿量的精确基态，其相互作用范围由有理函数表示中多项式的次数所限制。
• 当且仅当哈密顿量矩阵的行列式是cos(ϕ)的某个多项式的平方时，局部哈密顿量才具有GMPS作为其基态，这在哈密顿量上施加了一个非平凡的代数条件。
• 该框架即使在无限链极限下，也能实现对平移不变高斯态的常数参数描述，从而支持高效的变分优化。