[论文解读] Gaussian Process and Levy Walk under Stochastic Non-instantaneous Resetting and Stochastic Rest

Tian Zhou, Pengbo Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Diffusion and Search Dynamics参考文献 50被引用 9

一句话总结

本文研究了一种三阶段随机过程——运动、非瞬时重置（返回）和休息——其中粒子在运动阶段遵循布朗运动或弹道 Lévy 行走动力学。研究推导了在不同返回机制（恒定速度、加速度、谐振力）和随机休息时间下的渐近均方位移（MSD）行为与稳态分布，表明重置使过程局域化并改变输运特性，并在布朗运动情况下得出了首次通过时间的精确结果。

ABSTRACT

A stochastic process with movement, return, and rest phases is considered in this paper. For the movement phase, the particles move following the dynamics of Gaussian process or ballistic type of L\'evy walk, and the time of each movement is random. For the return phase, the particles will move back to the origin with a constant velocity or acceleration or under the action of a harmonic force after each movement, so that this phase can also be treated as a non-instantaneous resetting. After each return, a rest with a random time at the origin follows. The asymptotic behaviors of the mean squared displacements with different kinds of movement dynamics, random resting time, and returning are discussed. The stationary distributions are also considered when the process is localized. Besides, the mean first passage time is considered when the dynamic of movement phase is Brownian motion.

研究动机与目标

• 建立一个包含运动、非瞬时返回和随机休息的三阶段随机过程模型。
• 分析不同返回动力学（恒定速度、加速度、谐振力）下的渐近均方位移（MSD）。
• 推导系统局域化时的稳态分布。
• 计算布朗运动情况下具有随机重置的平均首次通过时间（MFPT）。
• 将先前关于瞬时重置的工作扩展至包含有限时间返回和休息阶段。

提出的方法

• 提出一个三阶段随机模型：运动阶段（高斯或 Lévy 行走）、返回阶段（非瞬时，具有恒定速度、加速度或谐振力）和休息阶段（持续时间随机）。
• 使用传播函数 h(x,t) 描述运动阶段，使用返回函数 R(τ; Mηi) 建模返回阶段的位置演化。
• 通过涉及运动时间概率密度函数 ψm(η)、返回时间 ρi 和休息时间 φr(ξ) 的概率密度函数的积分方程，推导各阶段的联合概率密度。
• 应用拉普拉斯变换与小 s 的渐近分析，推导 MSD 和 MFPT 的长时行为。
• 利用 Lévy 分布分析弹道 Lévy 行走在长时间极限下的渐近密度。
• 采用合流超几何函数与积分表示法，求解稳态与首次通过统计量。

实验结果

研究问题

• RQ1 非瞬时重置如何影响高斯与 Lévy 行走动力学下的长时均方位移（MSD）？
• RQ2 当系统因重置而局域化时，该过程的稳态分布是什么？
• RQ3 不同的返回机制（恒定速度、加速度、谐振力）如何影响渐近 MSD 与首次通过时间？
• RQ4 随机休息时间对整体输运特性与局域化有何影响？
• RQ5 在具有非瞬时返回的随机重置下，首次通过时间到目标如何变化？

主要发现

• MSD 展现出从弹道（⟨x²⟩∼t²）到扩散（⟨x²⟩∼t）行为的过渡，具体取决于返回机制与休息时间统计特性。
• 对于具有随机重置的布朗运动，首次通过时间的平均值（MFPT）是有限的，并通过拉普拉斯变换与渐近分析精确推导得出。
• 当系统局域化时，稳态分布存在且非高斯，其形状取决于返回机制与休息时间分布。
• Lamperti 分布控制非瞬时重置下弹道 Lévy 行走的渐近密度，从而实现对长时行为的精确分析。
• 由于重置，系统发生局域化，且在更快的返回机制（如谐振力）下局域化效应更显著，相较于恒定速度。
• 首次通过时间分布的渐近行为在拉普拉斯空间中被推导出，表明其依赖于返回函数与休息时间概率密度函数。