[论文解读] Gaussian processes, bridges and membranes extracted from selfsimilar random fields

Maik Görgens, Ingemar Kaj|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于高斯白噪声或随机球白噪声驱动的脉冲噪声机制，构建自相似高斯随机场的新方法，可在有界区域上显式提取分数布朗运动、桥接过程与膜结构。核心贡献是一个统一框架，通过基于测度的索引与Riesz变换的推广，生成具有指定自相似性与边界行为的高斯过程。

ABSTRACT

We consider the class of selfsimilar Gaussian generalized random fields introduced by Dobrushin in 1979. These fields are indexed by Schwartz functions on $\mathbb{R}^d$ and parametrized by a self-similarity index and the degree of stationarity of their increments. We show that such Gaussian fields arise in explicit form by letting Gaussian white noise, or Gaussian random balls white noise, drive a shift and scale shot-noise mechanism on $\mathbb{R}^d$, covering both isotropic and anisotropic situations. In some cases these fields allow indexing with a wider class of signed measures, and by using families of signed measures parametrized by the points in euclidean space we are able to extract pointwise defined Gaussian processes, such as fractional Brownian motion on $\mathbb{R}^d$. Developing this method further, we construct Gaussian bridges and Gaussian membranes on a finite domain, which vanish on the boundary of the domain.

研究动机与目标

• 开发一种在 R^d 上构造自相似高斯广义随机场的一般方法，利用脉冲噪声机制。
• 通过Riesz变换与带符号测度，将自相似指数 H 的范围扩展至先前限制之外。
• 从这些场中提取点态定义的高斯过程，如分数布朗运动、桥接过程与膜结构。
• 提出一种基于随机球白噪声的分数布朗运动新表示形式。
• 通过随机球的硬剪枝（hard-thinning）构造在有界区域 D 的边界上趋于零的高斯膜结构。

提出的方法

• 通过 R^d × R_+ 上的高斯白噪声 M_d 或随机球白噪声 W_β 驱动的脉冲噪声机制，构建自相似高斯场。
• 使用关于 t ∈ R^d 索引的带符号测度 μ_t，从底层场 X 中提取点态过程 Y_t = X(μ_t)。
• 应用 Riesz 变换 (−Δ)^{-m/2}，将自相似指数 H 的范围扩展至任意 H ∉ Z（d ≥ 2）或 H ∉ ½Z（d = 1）。
• 将膜结构定义为当 t 趋近于有界区域 D 的边界 ∂D 时，以概率趋于零的随机过程 X_t。
• 通过丢弃完全不包含在 D 内的球，实现随机球的硬剪枝，从而获得边界趋于零的膜结构。
• 利用协方差分析与涉及 τ(ε)^2 的极限论证，推导出所提取过程的协方差函数的精确形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过脉冲噪声机制，从广义随机场构造出自相似高斯场（H > 0）？
• RQ2 如何通过基于测度的索引，从自相似随机场中提取 R^d 上的分数布朗运动？
• RQ3 在有界区域 D 的边界上趋于零的高斯桥与膜结构具有何种结构？
• RQ4 具有硬剪枝的随机球模型如何生成边界趋于零的膜过程？
• RQ5 在区间 [0,T] 上的硬剪枝桥能否通过鞅分解与分数布朗运动关联？

主要发现

• 证明所提取过程 T'(s)T'(t) 的协方差为 c(|s|^{2H} + |t|^{2H} - |s-t|^{2H})，其中 c 为常数，确认了自相似指数 H 的性质。
• 当 d=1 且 D=(0,T) 时，硬剪枝桥的协方差为 E[W_β(s)W_β(t)] = f_β(s∨t) + f_β(T−s∧t) − f_β(|s−t|) − f_β(T)，其中 f_β(x) = 2^β/(β(1−β)) x^{1−β}，0<β<1。
• 当 β = −1 时，硬剪枝桥退化为经典布朗桥，其协方差为 ½(s∧t)(T−s∨t)。
• 当 0<β<1 时，若 Y_β 为波动率为 √(x^{-β} + (T−x)^{-β}) 的随机积分，则 W_β + Y_β 构成自相似指数 H = (1−β)/2 的分数布朗运动。
• 当 −1<β<0 时，过程 Y_β 定义良好，生成一个复高斯过程，其协方差与 C_β(s,t) = s^{1−β} + t^{1−β} − |s−t|^{1−β} 成正比。
• 通过 Riesz 变换的构造方法，可将自相似指数 H 扩展至任意不属于 Z（d≥2）或 ½Z（d=1）的值，显著拓宽了现有模型的适用范围。