[论文解读] Gaussian random permutation and the boson point process

Inés Armendáriz, Pablo A. Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 1

一句话总结

本文在 ℝᵈ 上构建了一个无限体积的高斯随机排列，其中点配置与排列由基于平方位移的哈密顿量所控制。通过将泊松高斯环汤（适用于亚临界密度 ρ ≤ ρ_c）与独立的高斯随机穿插（适用于超临界 ρ > ρ_c）相结合，该模型生成了一个吉布斯测度，其与任意子点过程一致——从而建立了费曼对自由玻色气体的表示与环汤及随机穿插之间的严格联系。

ABSTRACT

We construct an infinite volume spatial random permutation $(\mathsf X,\sigma)$, where $\mathsf X\subset\mathbb R^d$ is locally finite and $\sigma:\mathsf X o \mathsf X$ is a permutation, associated to the formal Hamiltonian $$ H(\mathsf X,\sigma) = \sum_{x\in \mathsf X} \|x-\sigma(x)\|^2. $$ The measures are parametrized by the point density $ ho$ and the temperature $\alpha$. Spatial random permutations are naturally related to boson systems through a representation originally due to Feynman (1953). Let $ ho_c= ho_c(\alpha)$ be the critical density for Bose-Einstein condensation in Feynman's representation. Each finite cycle of $\sigma$ induces a loop of points of~$\mathsf X$. For $ ho\le ho_c$ we define $(\mathsf X, \sigma)$ as a Poisson process of finite unrooted loops of a random walk with Gaussian increments that we call Gaussian loop soup, analogous to the Brownian loop soup of Lawler and Werner (2004). We also construct Gaussian random interlacements, a Poisson process of doubly infinite trajectories of random walks with Gaussian increments analogous to the Brownian random interlacements of Sznitman (2010). For $d\ge 3$ and $ ho> ho_c$ we define $(\mathsf X,\sigma)$ as the superposition of independent realizations of the Gaussian loop soup at density $ ho_c$ and the Gaussian random interlacements at density $ ho- ho_c$. In either case we call $(\mathsf X, \sigma)$ a Gaussian random permutation at density $ ho$ and temperature $\alpha$. The resulting measure satisfies a Markov property and it is Gibbs for the Hamiltonian $H$. Its point marginal $\mathsf X$ has the same distribution as the boson point process introduced by Shirai-Takahashi (2003) in the subcritical case, and by Tamura-Ito (2007) in the supercritical case.

研究动机与目标

• 构建一个在 ℝᵈ 上具有点密度 ρ 和温度 α 的平移不变、无限体积的空间随机排列 (X, σ)。
• 通过费曼对自由玻色气体的表示，建立空间随机排列与任意子点过程之间的联系。
• 根据密度 ρ 是否低于或高于临界密度 ρ_c(α)，定义并分析两种不同的过程——高斯环汤与高斯随机穿插。
• 证明所构造的随机排列的点边际 X 的分布与由 Shirai-Takahashi (2003) 和 Tamura-Ito (2007) 定义的任意子点过程相同。

提出的方法

• 定义哈密顿量 H(X, σ) = ∑_{x∈X} ‖x − σ(x)‖²，以控制空间排列的能量。
• 将 Radon-Nikodym 密度分解为由 σ 所诱导的环的乘积，从而实现基于环的构造。
• 将高斯环汤构造为具有高斯增量的无根环的泊松过程，类似于布朗运动环汤。
• 当 ρ > ρ_c 时，将密度为 ρ_c 的环汤与独立的密度为 ρ − ρ_c 的高斯随机穿插叠加。
• 利用拉普拉斯泛函与相关函数表征所得点过程，并与已知的任意子点过程进行比较。
• 利用 Lenard 定理与 Campbell 公式，证明随机排列的点边际与任意子点过程的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在给定点密度 ρ 和温度 α 的条件下，为无限体积中的空间随机排列构造一个吉布斯测度？
• RQ2 在亚临界（ρ ≤ ρ_c）与超临界（ρ > ρ_c）区域中，高斯随机排列与任意子点过程之间存在何种关系？
• RQ3 环汤与随机穿插组分在不同密度区域中如何影响排列的结构？
• RQ4 能否证明高斯随机排列的点边际与由 Shirai-Takahashi 与 Tamura-Ito 定义的任意子点过程完全一致？
• RQ5 临界密度 ρ_c(α) 在决定环主导与穿插主导行为之间的相变中起何种作用？

主要发现

• 当 ρ > ρ_c 时，高斯随机排列 (X, σ) 构造为密度为 ρ_c 的高斯环汤与独立的密度为 ρ − ρ_c 的高斯随机穿插的叠加；当 ρ ≤ ρ_c 时，仅由环汤构成。
• 所得测度是哈密顿量 H(X, σ) = ∑_{x∈X} ‖x − σ(x)‖² 的吉布斯测度，且具有平移不变性，点密度为 ρ。
• 点边际 X 的分布与任意子点过程相同：νρ = ν_boson_ρ，其中 Shirai-Takahashi (2003) 定义了 ρ ≤ ρ_c 的情形，Tamura-Ito (2007) 定义了 ρ > ρ_c 的情形。
• 当 d ≥ 3 且 ρ > ρ_c 时，超临界任意子点过程 ν_boson_ρ 是一个 Cox 过程，其强度为 ½(Φ₁ + √(2(ρ − ρ_c)))² + ½Ψ₁²，其中 Φ₁ 与 Ψ₁ 是具有协方差 K₁ 的独立零均值高斯场。
• 高斯环汤的 n 重点相关函数与任意子点过程 ν_ST_λ 的一致，根据 Lenard 定理，这意味着底层点过程的相等。
• 超临界过程 ν_boson_ρ 的拉普拉斯泛函与叠加过程 ν_ST_1 ∗ ν_TI_ρ−ρ_c 的一致，从而确认了测度的等价性。