[论文解读] Gaussian Stochastic Linearization for Open Quantum Systems Using Quadratic Approximation of Hamiltonians

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于哈密顿量的高斯随机线性化方法，用于具有非二次哈密顿量的开放量子系统，通过在高斯参考态下以最小均方最优意义逼近真实哈密顿量为二次函数。该方法导出一组自洽的微分方程，用于均值向量与量子协方差矩阵，保持正则对易关系，并实现对非线性量子系统的次优控制与滤波，已在具有四次-四次动力学的量子杜芬振子上得到验证。

ABSTRACT

This paper extends the energy-based version of the stochastic linearization method, known for classical nonlinear systems, to open quantum systems with canonically commuting dynamic variables governed by quantum stochastic differential equations with non-quadratic Hamiltonians. The linearization proceeds by approximating the actual Hamiltonian of the quantum system by a quadratic function of its observables which corresponds to the Hamiltonian of a quantum harmonic oscillator. This approximation is carried out in a mean square optimal sense with respect to a Gaussian reference quantum state and leads to a self-consistent linearization procedure where the mean vector and quantum covariance matrix of the system observables evolve in time according to the effective linear dynamics. We demonstrate the proposed Hamiltonian-based Gaussian linearization for the quantum Duffing oscillator whose Hamiltonian is a quadro-quartic polynomial of the momentum and position operators. The results of the paper are applicable to the design of suboptimal controllers and filters for nonlinear quantum systems.

研究动机与目标

• 将经典随机线性化方法扩展至具有非二次哈密顿量的开放量子系统，采用基于能量的量子力学类比方法。
• 通过将哈密顿量近似为对应于量子简谐振子的二次形式，解决量子系统中非线性动力学的挑战。
• 开发一种自洽的线性化程序，保持正则对易关系（CCRs）与系统的物理可实现性。
• 提供一种计算上可行的方法，用于设计非线性量子系统的次优控制器与滤波器，克服“维度灾难”问题。

提出的方法

• 使用相对于高斯参考量子态的最小均方最优准则，将实际非二次系统哈密顿量近似为可观测量的一般二次函数。
• 利用维克定理，在高斯态下将高阶矩（如四阶矩）表示为二阶矩（均值向量与量子协方差矩阵）的函数。
• 推导出均值向量与量子协方差矩阵的自洽微分方程组，其中系数非线性地依赖于状态估计值。
• 通过有效线性动力学的结构，确保通过保持正则对易关系（CCRs）来实现物理可实现性。
• 使用专为对称矩阵设计的矩阵求逆技术求解稳态协方差矩阵的非线性代数方程，避免完全向量化。
• 将该方法应用于具有四次-四次哈密顿量的量子杜芬振子，通过数值方法验证了该方法在不同非谐性参数下的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用非二次哈密顿量的最小均方最优二次逼近，在保持物理可实现性的前提下，对开放量子系统的动力学进行线性化？
• RQ2 如何为由量子随机微分方程描述的非线性开放量子系统，形式化均值向量与量子协方差矩阵的自洽演化？
• RQ3 高斯参考态在仅利用二阶矩计算哈密顿量最优二次逼近中起到何种作用？
• RQ4 在该线性化框架下，非谐性参数如何影响量子杜芬振子的稳态量子协方差矩阵？
• RQ5 在何种条件下，所得线性化系统保持物理可实现性，以及如何在数学上确保这一点？

主要发现

• 所提出的方法导出一组非线性但保持正则对易关系（CCRs）的均值向量与量子协方差矩阵的自洽微分方程。
• 哈密顿量的最优二次逼近涉及实矩阵上二阶对称算子的逆，可无需完全向量化即可计算，从而提高计算效率。
• 对于量子杜芬振子，随着非谐性参数 $ f $ 增大，位置方差 $ \sigma_{11} $ 减小，动量方差 $ \sigma_{22} $ 增大，与势阱变陡的趋势一致。
• 当 $ f > 0 $ 时，协方差矩阵的稳态解存在且唯一，其可接受解由一个二次方程的正根决定。
• 数值结果证实，线性化系统能准确捕捉 $ f $ 增大时量子涨落的定性变化，即 $ \sigma_{11} $ 从谐振子情况（$ f = 0 $）下降，$ \sigma_{22} $ 上升。
• 该方法保持了物理可实现性，因为所得有效线性动力学满足量子系统所需的必要条件，使其可用于相干量子控制与滤波。