[论文解读] Gelfand-Kirillov Dimensions of Highest Weight Harish-Chandra Modules for $SU(p,q)$

Zhanqiang Bai, Xun Xie|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出了一种组合算法，利用Lusztig的a函数和杨表计算$SU(p,q)$的最高权哈里什-钱德拉模的Gelfand-Kirillov（GK）维数。证明了当整数$\langle \lambda + \rho, \beta^\vee \rangle$增大时，GK维数严格递减，并完全刻画了关联簇为$\mathfrak{p}^+$中$K_{\mathbb{C}}$-轨道的闭包，其维数为$m(n-m)$，其中$m$为关联杨表第二列的元素个数。

ABSTRACT

Let $ (G,K) $ be an irreducible Hermitian symmetric pair of non-compact type with $G=SU(p,q)$, and let $ λ$ be an integral weight such that the simple highest weight module $ L(λ) $ is a Harish-Chandra $ (\mathfrak{g},K) $-module. We give a combinatoric algorithm for the Gelfand-Kirillov dimension of $ L(λ) $. This enables us to prove that the Gelfand-Kirillov dimension of $ L(λ) $ decreases as the integer $ \langleλ+ρ,β^\vee angle $ increases, where $ρ$ is the half sum of positive roots and $β$ is the maximal noncompact root. As a byproduct, we obtain a description on the associated variety of $ L(λ) $.

研究动机与目标

• 为$G = SU(p,q)$的最高权$(\mathfrak{g},K)$-模的Gelfand-Kirillov维数开发一种组合算法。
• 将已知的单位表示情形结果推广，表明GK维数随$\langle \lambda + \rho, \beta^\vee \rangle$增大而递减，推广至所有最高权哈里什-钱德拉模。
• 以$K_{\mathbb{C}}$-轨道闭包的形式完全描述此类模的关联簇。
• 建立$P(\lambda)$的杨表结构与$L(\lambda)$的GK维数及关联簇之间的精确联系。

提出的方法

• 在与$\lambda$的积分Weyl群相关的Weyl群$W_{[\lambda]}$上使用Lusztig的a函数，其中$\operatorname{GKdim}L(\lambda) = |\Phi^+| - \mathbf{a}_{[\lambda]}(w)$，$w$为$\lambda$的点轨道中长度最小的元素。
• 构造与$\lambda + \rho = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)$相关的杨表集合$P(\lambda)$，其中$P(\lambda)$的形状决定了GK维数。
• 应用定理5.6，通过$\operatorname{GKdim}L(\lambda) = m(n - m)$将$P\!(\lambda)$第二列的元素个数$m$与GK维数关联起来。
• 利用平移函子和杨表上的操作，比较同一$K_{\mathbb{C}}$-轨道闭包中不同权的GK维数。
• 将$L(\lambda)$的关联簇识别为$\overline{\mathcal{O}}_m$，即$\mathfrak{p}^+$中维数为$m(n - m)$的$K_{\mathbb{C}}$-轨道的闭包。
• 通过Jantzen平移函子将问题约化为$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(n)$的情形，并利用$\mathfrak{sl}(n)$的Robinson-Schensted对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$SU(p,q)$的最高权$(\mathfrak{g},K)$-模，当$\langle \lambda + \rho, \beta^\vee \rangle$增大时，其GK维数是否递减？
• RQ2 此类模的GK维数是否可通过基于杨表的组合算法计算？
• RQ3 对于$SU(p,q)$的最高权$(\mathfrak{g},K)$-模，其关联簇的精确结构是什么？
• RQ4 关联杨表第二列的元素个数与GK维数及关联簇之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，此类模的GK维数为零？

主要发现

• 对于$\lambda = \tilde{\lambda} + z\zeta$，$L(\lambda)$的Gelfand-Kirillov维数为$\operatorname{GKdim}L(\tilde{\lambda} + z\zeta) = \begin{cases} pq, & z < \max\{p,q\} \\ (z+1)(n-1-z), & \max\{p,q\} \leq z \leq n-1 \\ 0, & z \geq n \end{cases}$
• 随着整数$z = \langle \lambda + \rho, \beta^\vee \rangle$增大，$L(\lambda)$的GK维数严格递减，且$\operatorname{GKdim}L(\tilde{\lambda} + z\zeta)$在$z \in \mathbb{Z}$上弱递减。
• 在$\mathfrak{p}^+$中，$L(\lambda)$的关联簇为$\overline{\mathcal{O}}_m$，即维数为$m(n - m)$的$K_{\mathbb{C}}$-轨道的闭包，其中$m$为杨表$P(\lambda)$第二列的元素个数。
• 对于非整数权$\lambda$，$P(\lambda)$由两个单列杨表组成，且$\operatorname{GKdim}L(\lambda) = pq$，关联簇为$\overline{\mathcal{O}}_r$，其中$r = \min\{p,q\}$。
• 当$z \geq n$时，GK维数为零，关联簇为整个空间$\mathfrak{p}^+$，对应于$\overline{\mathcal{O}}_n = \mathfrak{p}^+$。
• 由于$P(\tilde{\lambda} + z\zeta)$在$z \in I_{\tilde{\lambda}} \cap \mathbb{Z}$时形状不变，GK维数在$\mathbb{Z}$-区间$I_{\tilde{\lambda}}$上保持恒定，从而实现统一计算。