[论文解读] General and Stronger Uncertainty Relation

Vishnu M. Bannur|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Numerical methods in inverse problems被引用 3

一句话总结

本文通过引入自由参数 α，将 Maccone 和 Pati 的更强的不确定度关系推广为一个无限族基于方差的不确定度不等式。通过在 α 上最小化，作者确定了唯一最优的不等式，该不等式在极限情况下退化为标准的海森堡-罗伯特森和薛定谔关系，并始终提供非平凡的下界，即使在标准关系失效时也是如此。

ABSTRACT

Recently, Maccone and Pati [Phys. Rev. Lett. {\bf 113}, 260401 (2014)] derived few inequalities among variances of incompatible operators which they called stronger uncertainty relations, stronger than Heisenberg-Robertson or Schrodinger uncertainty relations. Here we generalize their study to get infinite number of such inequalities and propose that only one of them may be the correct uncertainty relation between incompatible operators. We get back well known uncertainty relations of Heisenberg-Robertson and Schrodinger under certain limits. We also reexamine the conclusions of Maccone and Pati and comment on their work.

研究动机与目标

• 解决标准不确定度关系的局限性，即在某些态下对不相容可观测量可能给出平凡（零）的下界。
• 将 Maccone 和 Pati 的更强不确定度关系推广为使用自由参数 α 的无限组此类不等式。
• 通过在 α 上最小化，从无限族中识别出唯一最优的不等式，以确保最紧密的可能下界。
• 证明所得关系在适当极限下退化为海森堡-罗伯特森和薛定谔不确定度关系。
• 通过显式例子（如自旋-1 系统）验证所推导关系的非平凡性和强度。

提出的方法

• 引入复线性组合 |ϕ⟩ = |ψ_A⟩ + iα|ψ_B⟩，其中 α 为实参数，|ψ_A⟩ 和 |ψ_B⟩ 分别为算符 A 和 B 相对于其期望值的偏离。
• 对 |ϕ⟩ 和任意与 |ψ⟩ 正交的归一化态 |ψ^⊥⟩ 应用柯西-施瓦茨不等式，导出一个含 α 的复不等式。
• 将不等式分离为实部和虚部，得到依赖于 α 的一般不确定度关系，形式为 [ΔA² - |⟨ψ^⊥|A|ψ⟩|²] + α²[ΔB² - |⟨ψ^⊥|B|ψ⟩|²] + iα[⋯] ≥ 0。
• 对所得表达式在 α 上最小化，以找到使下界最紧的最优 α 值，从而确定真正的更强不确定度关系。
• 将最终不等式写为 (ΔA² - |⟨ψ^⊥|A|ψ⟩|²)(ΔB² - |⟨ψ^⊥|B|ψ⟩|²) ≥ ¼|⟨[A,B]⟩ - [⋯]|² 的形式，该式在极限下退化为已知关系。
• 通过显式例子（如 |ψ⟩ = |0⟩ 且 |ψ^⊥⟩ = cosθ|+⟩ + sinθ|−⟩ 的自旋-1 系统）验证结果，表明所推导关系给出非平凡下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Maccone 和 Pati 的更强不确定度关系能否被推广到其特定不等式之外，形成无限族此类关系？
• RQ2 在无限族中是否存在唯一最优的不确定度关系？如果存在，如何识别它？
• RQ3 最优关系是否在适当极限下退化为标准的海森堡-罗伯特森和薛定谔不确定度关系？
• RQ4 所推导的关系是否能在标准不确定度关系给出平凡（零）界时仍提供非平凡下界？
• RQ5 正交态 |ψ^⊥⟩ 和参数 α 的选择如何影响不确定度界的力量和有效性？

主要发现

• 本文通过引入自由参数 α 推导出无限族不确定度不等式，推广了 Maccone 和 Pati 的方法，表明其关系是这些不等式的特例。
• 通过在 α 上最小化，识别出真正的更强不确定度关系，得到唯一最优不等式，该不等式提供最紧的非平凡下界。
• 当态 |ψ⟩ 分别为 A 或 B 的本征态时，最优关系退化为海森堡-罗伯特森和薛定谔不确定度关系。
• 对于自旋-1 系统，当 |ψ⟩ = |0⟩ 且 |ψ^⊥⟩ = cosθ|+⟩ + sinθ|−⟩ 时，所推导关系给出非平凡下界 2ℏ²cos²θ，而标准 HRS 关系给出平凡的零下界。
• 该不等式在不同 |ψ^⊥⟩ 和 α 的选择下保持非平凡且一致，且在特定情形（如 α = ±1 对某些自旋态）下可达到等号。
• 该方法证实，所推导关系强于 Maccone 和 Pati 的原始关系，因其提供更紧的下界，并且当态不是任一可观测量的本征态时，始终为非平凡。