[论文解读] General approximation method for the distribution of Markov processes conditioned not to be killed

Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用 44

一句话总结

本文提出了一种用于近似强马尔可夫过程在无限期生存条件下分布的一般性方法，采用带有重生的弗莱明-维奥特型粒子系统。该方法在较弱条件下确保收敛，包括重生过程几乎必然不发生爆炸以及具有正的生存概率，并为近似提供了定量的收敛速度。

ABSTRACT

We consider a strong Markov process with killing and prove an approximation method for the distribution of the process conditioned not to be killed when it is observed. The method is based on a Fleming-Viot type particle system with rebirths, whose particles evolve as independent copies of the original strong Markov process and jump onto each others instead of being killed. Our only assumption is that the number of rebirths of the Fleming-Viot type system doesn't explode in finite time almost surely and that the survival probability of the original process remains positive in finite time. The approximation method generalizes previous results and comes with a speed of convergence. A criterion for the non-explosion of the number of rebirths is also provided for general systems of time and environment dependent diffusion particles. This includes, but is not limited to, the case of the Fleming-Viot type system of the approximation method. The proof of the non-explosion criterion uses an original non-attainability of $(0,0)$ result for pair of non-negative semi-martingales with positive jumps.

研究动机与目标

• 开发一种用于近似马尔可夫过程在不被吸收条件下分布的一般性方法，尤其适用于朴素蒙特卡洛方法因罕见生存事件而失效的情形。
• 通过放宽假设条件并扩展该方法适用的马尔可夫过程类别，推广现有关于弗莱明-维奥特粒子系统的结果。
• 建立使用粒子系统近似条件分布的收敛速度。
• 推导一个充分条件，以确保粒子系统中重生次数在有限时间内不发生爆炸，这对方法的有效性至关重要。

提出的方法

• 该方法采用具有 $N \geq 2$ 个粒子的弗莱明-维奥特型粒子系统，这些粒子独立地演化为原始的带吸收的马尔可夫过程，直到其中一个被吸收。
• 当某粒子被吸收时，若仅有一个粒子死亡且无其他粒子同时跳跃，则被吸收的粒子会立即在剩余粒子中均匀随机选择的一个粒子的位置重生，从而保持活跃粒子数量不变。
• 该系统通过重生事件逐步定义，若多个粒子在同一时刻死亡或跳跃，则系统失败。
• 在假设 A(N) 下建立了粒子系统经验测度收敛到条件分布的结果，该假设要求重生过程几乎必然不发生爆炸，并且在有限时间内具有正的生存概率。
• 一个关键技术工具是关于具有正跳跃的非负半鞅对的不可达性结果，用于证明不爆炸性准则。
• 收敛性证明使用了类似李雅普诺夫函数的方法，并将伊藤公式应用于涉及经验测度对数和局部时间项的变换过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可使用带有重生的粒子系统来近似马尔可夫过程在不被吸收条件下的分布？
• RQ2 粒子系统经验测度收敛到真实条件分布的速度如何？
• RQ3 在何种情况下，弗莱明-维奥特型系统中的重生次数在有限时间内保持有限，从而确保系统的良好定义性？
• RQ4 如何利用半鞅的不可达性结果，推导出时间与环境依赖的扩散粒子系统的不爆炸性准则？

主要发现

• 在假设 A(N) 下，该近似方法收敛到马尔可夫过程在不被吸收条件下的真实分布，该假设要求重生过程几乎必然不发生爆炸，并且在有限时间内具有正的生存概率。
• 建立了定量的收敛速度，误差在适当的矩条件下被一个常数乘以局部时间项与时间之和所控制。
• 为一般的时间与环境依赖的扩散粒子系统（包括弗莱明-维奥特系统）推导出重生不爆炸的充分条件。
• 不爆炸性准则依赖于一个新颖的关于具有正跳跃的非负半鞅对的不可达性结果，确保过程在有限时间内不会达到原点。
• 该方法通过允许更广泛的带吸收的马尔可夫过程（包括硬吸收与软吸收机制）推广了先前结果。
• 收敛性证明通过李雅普诺夫函数方法完成，并利用停时控制近似过程的爆炸时间。