[论文解读] General criteria for the study of quasi-stationarity

Nicolas Champagnat, Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 18

一句话总结

本文为具有吸收的马尔可夫过程建立了广义的李雅普诺夫型准则，用于存在性和指数收敛到拟平稳分布（QSD），采用加权总变差范数。证明了半群的右特征向量的存在性，通过可积性条件刻画吸引域，并建立了 $Q$-过程的指数遍历性，应用涵盖扩散过程、跳跃过程、可约链以及受扰动的动力系统。

ABSTRACT

For Markov processes with absorption, we provide general criteria ensuring the existence and the exponential non-uniform convergence in total variation norm to a quasi-stationary distribution. We also characterize a subset of its domain of attraction by an integrability condition, prove the existence of a right eigenvector for the semigroup of the process and the existence and exponential ergodicity of the Q-process. These results are applied to one-dimensional and multi-dimensional diffusion processes, to pure jump continuous time processes, to reducible processes with several communication classes, to perturbed dynamical systems and discrete time processes evolving in discrete state spaces.

研究动机与目标

• 为具有吸收的马尔可夫过程中拟平稳分布（QSD）的存在性发展一般且可验证的准则。
• 在初始测度满足可积性条件时，建立加权总变差范数下对QSD的指数非均匀收敛性。
• 通过李雅普诺夫函数的可积性刻画QSD的吸引域。
• 证明半群的右特征向量的存在性，并证明$Q$-过程的指数遍历性。
• 将QSD理论的适用范围扩展至复杂过程，包括非一致椭圆扩散过程、可约链以及受扰动的动力系统。

提出的方法

• 作者引入一对李雅普诺夫函数 $\varphi_1 \geq 1$ 和 $\varphi_2 \leq 1$，满足一组条件 (E1)-(E3)，以控制过程在吸收前的行为。
• 通过耦合论证和矩估计，建立在加权总变差范数 $\|\cdot\|_{TV(\varphi_1)}$ 下的收敛性，收敛速率为 $\alpha^t$，其中 $\alpha \in (0,1)$。
• QSD的存在性由正特征函数 $\eta$ 的存在性推导而来，该函数满足方程 $P_t \eta = e^{-\lambda_0 t} \eta$，其中 $\lambda_0$ 为衰减参数。
• $Q$-过程被构造为原过程在不被吸收条件下的杜布 $h$-变换，并利用相同的李雅普诺夫框架证明其指数遍历性。
• 通过验证李雅普诺夫条件，将该方法应用于各类过程：扩散过程使用哈纳克不等式，跳跃过程使用耦合与矩界，动力系统使用扰动分析。
• 证明依赖于转移核的新型分解，以及通过丁金公式和比较论证估计退出时间。

Figure 1: Transition graph displaying the relation between the sets $D_{1}$ , $D_{2}$ , $D_{3}$ and $\partial$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，具有吸收的马尔可夫过程会存在拟平稳分布？
• RQ2 何种准则可确保对任意初始分布，在加权总变差范数下对QSD实现指数收敛？
• RQ3 如何通过李雅普诺夫函数的可积性刻画QSD的吸引域？
• RQ4 何种条件可保证$Q$-过程的存在性及其指数遍历性？
• RQ5 该理论是否可适用于状态空间不规则、具有多个通信类或具有无界扰动的过程？

主要发现

• 在李雅普诺夫条件 (E1)-(E3) 下，拟平稳分布 $\nu_{QSD}$ 存在且唯一，且在满足 $\nu(\varphi_1) < \infty$ 和 $\nu(\varphi_2) > 0$ 的测度中唯一。
• 在加权总变差范数下存在指数收敛性：$\|\mathbb{P}_\mu(X_t \in \cdot \mid t < \tau_\partial) - \nu_{QSD}\|_{TV(\varphi_1)} \leq C \alpha^t \frac{\mu(\varphi_1)}{\mu(\varphi_2)}$，其中 $\alpha \in (0,1)$。
• 衰减参数 $\lambda_0$ 被表征为所有球 $B$ 上 $-\log \mathbb{P}_x(t < \tau_\partial)^{1/t}$ 的下确界，且该下确界可达到为最小值。
• 半群的右特征向量 $\eta$ 满足 $P_t \eta = e^{-\lambda_0 t} \eta$，且 $\eta$ 为 $\mathcal{C}^2$ 函数，并在区域内部解方程 $\mathcal{L}\eta = -\lambda_0 \eta$。
• $Q$-过程是指数遍历的，收敛速率为 $\alpha^t$，其不变测度与 $\eta$ 成正比。
• 该理论适用于非一致椭圆扩散过程（如具有竞争的费勒扩散）、具有可数个通信类的可约过程，以及具有无界或奇异扰动的受扰动动力系统。