[论文解读] General Doubly Stochastic Maximum Principle and Its Applications to Optimal Control of Stochastic Partial Differential Equations

Liangquan Zhang, Yufeng Shi|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文建立了带控制相关系数的拟线性随机热方程最优控制的一般双随机最大值原理，推导出最优性的必要与充分条件。该原理被应用于求解前向-后向双随机线性-二次控制问题及一个随机偏微分方程控制实例，为这类系统提供了统一的框架。

ABSTRACT

In this paper, we prove the necessary and sufficient maximum principles (NSMPs in short) for the optimal control of systems described by a quasilinear stochastic heat equation within convex control domains, which all the coefficients contain control variables. For that, the optimal control problem of fully coupled forward-backward doubly stochastic system is studied. We apply our NSMPs to treat a kind of forward-backward doubly stochastic linear quadratic optimal control problems and an example of optimal control of stochastic partial differential equations (SPDEs in short) as well.

研究动机与目标

• 为受带控制相关系数的拟线性随机热方程控制的系统，发展最优控制的必要与充分最大值原理。
• 将最大值原理框架扩展至完全耦合的前向-后向双随机系统。
• 将推导出的原理应用于求解双随机设定下的线性-二次最优控制问题。
• 通过一个随机偏微分方程控制的具体实例，展示理论的适用性。

提出的方法

• 利用随机分析与伴随方程，推导出带控制相关系数的拟线性随机热方程的必要与充分最大值原理（NSMPs）。
• 在完全耦合的前向-后向双随机系统框架内表述最优控制问题。
• 采用后向随机微分方程（BSDEs）刻画最大值原理所需的伴随过程。
• 将NSMPs应用于具有双随机动态的线性-二次最优控制问题，推导出显式的最优控制律。
• 基于所提出的框架，构建一个随机偏微分方程最优控制的具体实例。
• 通过解析处理该实例问题，验证理论结果的一致性与适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为带控制相关系数的拟线性随机PDE建立一般双随机最大值原理？
• RQ2 在完全耦合的前向-后向双随机系统中，最优性的必要与充分条件是什么？
• RQ3 如何将所推导的最大值原理应用于求解随机偏微分方程动态下的线性-二次最优控制问题？
• RQ4 该理论框架能否有效应用于随机PDE控制的具体实例？

主要发现

• 为带控制相关系数的拟线性随机热方程最优控制，建立了通用的必要与充分最大值原理。
• 该框架成功扩展至完全耦合的前向-后向双随机系统，实现了更广泛的应用。
• 最大值原理被应用于推导出在双随机设定下一类线性-二次最优控制问题的最优解。
• 利用所提出的理论框架，求解了一个随机偏微分方程最优控制的具体实例。
• 所推导的条件为识别具有控制相关动态的复杂随机PDE系统中的最优控制提供了一套系统化方法。
• 结果表明，所提出的最大值原理在处理高维、非线性及随机控制系统方面具有可行性与有效性。