[论文解读] General entropic uncertainty relations for $N$-level systems

Steeve Zozor, G. M. Bosyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 47被引用 3

一句话总结

本文通过一种几何优化方法，推导出N-水平系统中任意一对量子可观测量的广义熵（香农、R{\'e}nyi 和 Tsallis）之和的一般下界，该方法避开了通常由H{"{o}}lder共轭性条件带来的约束。该下界依赖于可观测量本征基之间的重叠 $ c $，且在 $ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ 时为最优，优于Deutsch的下界，并在某些参数范围内超越了Maassen-Uffink的下界。

ABSTRACT

We revisit entropic formulations of the uncertainty principle for an arbitrary pair of quantum observables in $N$-dimensional Hilbert space. Generalized entropies, including Shannon, R\'enyi and Tsallis' ones among others, are used as uncertainty measures associated with the distribution probabilities corresponding to the outcomes of the observables. We obtain a lower bound for the sum of generalized entropies for any couple of (positive) entropic indices. The bound depends on the overlap $c$ between the observables' eigenbases, and is valid for pure states as well as for mixed states. Our approach is inspired by that of de Vicente and S\'anchez-Ruiz [Phys. Rev. A 77, 04110 (2008)] and consists in a minimization of the entropy sum subject to the Landau-Pollak inequality that links the maximum probabilities for both observables. We solve the constrained optimization problem in a geometrical way and furthermore we overcome the H\older conjugacy constraint imposed on the entropic indices by Riesz-Thorin theorem generally used for when dealing with entropic formulations of the uncertainty principle. We show that (i) for given $c \le \frac{1}{\sqrt2}$, the bound obtained is optimal; and that, in the case of R\'enyi entropies, (ii) our bound improves Deutsch's one, but (iii) Maassen-Uffink's bound prevails when $c \le \frac12$. Finally, we compare our bound with known previous results in the cases of R\'enyi and Tsallis entropies.

研究动机与目标

• 将不确定性关系从标准的R{\'e}nyi和Tsallis熵扩展到更广泛的广义熵类。
• 克服在熵不确定性表述中通常由Riesz-Thorin定理施加的H{"{o}}lder共轭性约束。
• 为广义熵之和推导一个统一的下界，该下界适用于纯态和混合态。
• 通过在Landau-Pollak不等式约束下采用几何最小化程序，改进现有下界（特别是Deutsch和Maassen-Uffink的下界）。

提出的方法

• 将不确定性原理表述为使用广义熵（香农、R{\'e}nyi、Tsallis）作为测量结果不确定性的度量。
• 将Landau-Pollak不等式作为连接两个可观测量最大概率的约束条件。
• 通过几何方法求解约束优化问题，避免依赖H{"{o}}lder共轭条件。
• 显式地推导出依赖于可观测量本征基之间重叠 $ c $ 的熵之和的下界。
• 在单纯形概率空间中使用变分技术，在Landau-Pollak约束下最小化熵之和。
• 在不同熵指数下验证该下界，并与文献中的已知结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为N-水平系统中任意可观测量对的广义熵之和推导出统一的下界？
• RQ2 该下界在不同熵指数下表现如何，特别是在H{"{o}}lder共轭范围之外？
• RQ3 所提出的方法是否在特定重叠值 $ c $ 下，优于Deutsch或Maassen-Uffink的关系？
• RQ4 该下界是否在 $ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ 时为最优，若是，其成立条件为何？
• RQ5 该几何优化方法能否规避Riesz-Thorin定理在熵不确定性表述中施加的限制？

主要发现

• 当 $ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ 时，所推导的广义熵之和的下界为最优，提供了紧致的不确定性极限。
• 对于R{\'e}nyi熵，新下界在所有熵指数下均优于Deutsch的下界。
• 当 $ c \leq \frac{1}{2} $ 时，Maassen-Uffink的下界仍优于所提出的下界。
• 该方法成功避开了H{"{o}}lder共轭性约束，使得不确定性关系具有更广泛的应用范围。
• 该下界对纯态和混合态均有效，增强了其普适性。
• 与已知结果的比较表明，所提出的下界在 $ c $ 的中间参数区间内提供了更紧致的不确定性估计，特别是在 $ c \in \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right] $ 区间内。