[论文解读] General form of quantum mechanics with noncommutative coordinates

Vladislav Kupriyanov|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用 2

一句话总结

本文通过将海森堡代数扩展以包含由算符值结构 $ \hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 描述的坐标非对易性，提出了一套非交换量子力学的一般性框架。它构建了一个多微分表示，并通过迹泛函强制实现自伴性，从而为如弯曲非交换空间中的自由粒子等系统提供了自洽的表述形式。

ABSTRACT

Noncommutative quantum mechanics can be considered as a first step in the con- struction of noncommutative quantum field theory of generic form. In this paper we discuss the mathematical framework of the non-relativistic quantum mechanics with coordinate operators satisfying the algebra � ˆ x i , ˆ j � = i�ˆ ! ij (ˆx), where ˆ ! ij (ˆx) is some given operator describing the noncommutativity of the space andis the parameter of noncommutativity. First we introduce the momenta operators ˆ pi conjugated to the corresponding coordinates and construct the complete algebra of commutation relations between these operators as a deformation inof a standard Heisenberg algebra. Then we construct a polydifferential representation of this algebra as a deformation of coordinate representation of the Heisenberg algebra. To fix the ar- bitrariness in our construction we require that the phase space operators should be self-adjoint with respect to the trace functional defined on the above algebra. As an example we consider a free particle in curved noncommutative space.

研究动机与目标

• 将量子力学推广以包含非对易坐标，其中对易子 $[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\theta \hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 为算符依赖的结构。
• 通过引入动量算符 $\hat{p}_i$ 扩展标准海森堡代数，并作为形变推导出完整的对易关系代数。
• 构建该形变代数的多微分表示，作为标准坐标表示在非对易设置下的推广。
• 通过要求相空间算符在代数上定义的迹泛函下为自伴算符，来解决构造中的模糊性。
• 通过一个具体例子——弯曲非对易空间中的自由粒子——展示该框架的适用性。

提出的方法

• 通过 $[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\theta \hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 定义非对易代数，其中 $\hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 编码空间非对易性。
• 引入共轭动量 $\hat{p}_i$，并作为标准海森堡代数的形变，推导 $\hat{x}_i$、$\hat{p}_j$ 以及 $\hat{p}_i$、$\hat{p}_j$ 之间的形变对易关系。
• 构建该形变代数的多微分表示，将标准坐标表示推广至非对易几何环境。
• 施加所有相空间算符必须相对于定义在代数上的迹泛函为自伴算符的条件，以消除规范和表示上的模糊性。
• 将形式化方法应用于弯曲非对易空间中的自由粒子，证明该框架的一致性和物理可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何一致地形变海森堡代数，以包含算符值结构常数的非对易坐标？
• RQ2 在这样的非对易框架中，坐标与动量之间的完整对易关系代数是什么？
• RQ3 如何在保持物理一致性的同时，构建该形变代数的多微分表示？
• RQ4 在非对易设置下，相空间算符自伴性的条件是什么？
• RQ5 该框架能否描述如弯曲非对易空间中的自由粒子等物理系统？

主要发现

• 本文成功构建了一个包含算符值结构常数 $\hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 的非对易坐标的形变海森堡代数。
• 推导出该形变代数的多微分表示，将标准坐标表示推广至非对易几何。
• 要求在迹泛函下为自伴算符，唯一地消除了构造中的表示模糊性。
• 该框架被应用于弯曲非对易空间中的自由粒子，证明了其一致性和物理相关性。
• 该形式化为非对易量子场论奠定了基础，通过将量子力学推广至包含弯曲和非对易空间结构。