[论文解读] General form of the covariant field equations of arbitrary spin and the relativistic canonical quantum mechanics

В. М. Симулик|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 105被引用 3

一句话总结

本文提出了任意自旋粒子及其反粒子的相对论性规范量子力学（RCQM）的一般公理化表述，通过广义平方根算符形式，推导出显式协变的场方程。引入了一种新的64维实 Clifford–Dirac 代数，并确立了RCQM提供了最严格的量子力学描述，且随着向规范场论和协变场论的逐步过渡，量子力学的清晰性逐渐降低。

ABSTRACT

The investigation of arXiv 1409.2766v2 [quant-ph] has been continued by the general form of the numerous equations with partial values of arbitrary spin, which were considered in above mentioned preprint. The general forms of quantum-mechanical and covariant equations for arbitrary spin together with the general description of the arbitrary spin field formalism are presented. The corresponding relativistic quantum mechanics of arbitrary spin is given as the system of axioms. Previously ignored partial example of the spin s=(0,0) particle-antiparticle doublet is considered. The partial example of spin s=(3/2,3/2) particle-antiparticle doublet is highlighted. The new 64 dimensional Clifford--Dirac algebra over the field of real numbers is suggested. The general operator, which transformed the relativistic canonical quantum mechanics of arbitrary spin into the locally covariant field theory, has been introduced. Moreover, the study of the place of the results given in arXiv 1409.2766v2 [quant-ph] among the results of other authors is started. The review of the different investigations in the area of relativistic canonical quantum mechanics is given and the brief analysis of the existing approaches to the covariant field theory of arbitrary spin is initiated. The consideration of some important details of arXiv 1409.2766v2 [quant-ph] is improved.

研究动机与目标

• 将任意自旋的相对论性规范量子力学（RCQM）推广至以往未完全涵盖的自旋情况，包括此前被忽略的自旋 s=(0,0) 和 s=(3/2,3/2) 双态。
• 建立一个系统化的RCQM公理化框架，确保与非相对论性量子力学的对应关系，并保持清晰的量子力学解释。
• 通过广义平方根算符和一种新的64维实 Clifford–Dirac 代数，从RCQM推导出显式协变的场方程，适用于任意自旋。
• 通过展示每一步向规范场论和局部协变场论的过渡都会降低描述的量子力学清晰性，阐明三种模型——RCQM、规范场论和局部协变场论——之间的层次关系。
• 将结果置于现有相对论性量子力学与场论方法的更广泛背景中，回顾关键贡献并识别研究空白。

提出的方法

• 基于庞加莱群的规范表示，将RCQM表述为一组公理，使用非协变但相对论不变的生成元。
• 应用广义平方根算符方程来描述任意自旋粒子的动力学，将类似狄拉克的形式推广至自旋1/2以外的体系。
• 引入一种新的64维实数域上的 Clifford–Dirac 代数，以容纳更高自旋表示，并确保代数结构的封闭性。
• 通过广义 Foldy–Wouthuysen 型变换，从RCQM推导出显式协变的场方程，同时保持对自旋和统计性质的物理解释。
• 在非协变（规范）和协变两种形式下使用庞加莱代数，验证相对论不变性，表明即使非协变对象如 d³x 也能保持相对论不变性，只要其与狄拉克型方程算符对易并满足庞加莱代数。
• 将新提出的自旋 s=3/2 的8分量方程与16分量的 Rarita–Schwinger 方程进行比较，证明前者无需辅助条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将相对论性规范量子力学推广至任意自旋，包括此前被忽略的 s=(0,0) 和 s=(3/2,3/2) 情况？
• RQ2 平方根算符在构建任意自旋的显式协变场论中的作用是什么？它如何统一不同自旋的描述？
• RQ3 为何从RCQM向规范场论、再向协变场论的过渡会降低描述的量子力学清晰性？
• RQ4 新提出的64维实 Clifford–Dirac 代数如何支持任意自旋场的描述，并确保代数一致性？
• RQ5 与标准的16分量 Rarita–Schwinger 方程相比，自旋 s=3/2 的8分量方程具有何种意义？为何其在物理解释上更具优势？

主要发现

• 任意自旋的相对论性规范量子力学（RCQM）被确立为最基础且具有明确物理意义的框架，其量子力学含义最为清晰。
• 新提出的64维实 Clifford–Dirac 代数为任意自旋场论提供了协调一致的数学结构，使显式协变方程的构建成为可能。
• 自旋 s=3/2 的8分量方程被证明是 s=1/2 狄拉克方程的直接类比，无需引入辅助约束，与 Rarita–Schwinger 方程形成鲜明对比。
• 从RCQM合成协变场方程的过程被证明与从 s=1/2 RCQM 推导狄拉克方程的过程完全类比，证实了该方法的一致性与普遍性。
• 非协变生成元（如 d³x、非协变庞加莱生成元）若与狄拉克型方程算符对易并满足庞加莱代数，则不会破坏相对论不变性。
• 在推导出的方程中观察到费米–玻色对偶性和三重对称性（triality）性质，暗示任意自旋场论背后存在更深层的代数结构。