[论文解读] General Hamiltonian Representation of ML Detection Relying on the Quantum Approximate Optimization Algorithm

Jingjing Cui, Gui‐Lu Long+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的量子-经典混合方法，用于在无线通信系统中实现最大似然（ML）检测，采用量子近似优化算法（QAOA）。通过将ML检测重新表述为加权最小N满足性（WMIN-N-SAT）问题，并利用伪布尔函数构建问题哈密顿量，作者证明了对于格雷映射的M-ary QAM和QPSK星座图，同相（I）和 quadrature（Q）分量相互独立，从而可实现独立检测。关键贡献在于证明了在WMIN-N-SAT公式中，目标函数的次数为N_I × N_t（其中N_t为发射天线数），这简化了哈密顿量的构建，并使得在NISQ设备上高效实现QAOA成为可能，实验显示在电路深度为3时，QPSK的近似比最高可达0.92。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) conceived for solving combinatorial optimization problems has attracted significant interest since it can be run on the existing noisy intermediate-scale quantum (NISQ) devices. A primary step of using the QAOA is the efficient Hamiltonian construction based on different problem instances. Hence, we solve the maximum likelihood (ML) detection problem for general constellations by appropriately adapting the QAOA, which gives rise to a new paradigm in communication systems. We first transform the ML detection problem into a weighted minimum $N$-satisfiability (WMIN-$N$-SAT) problem, where we formulate the objective function of the WMIN-$N$-SAT as a pseudo Boolean function. Furthermore, we formalize the connection between the degree of the objective function and the Gray-labelled modulation constellations. Explicitly, we show a series of results exploring the connection between the coefficients of the monomials and the patterns of the associated constellation points, which substantially simplifies the objective function with respect to the problem Hamiltonian of the QAOA. In particular, for an M-ary Gray-mapped quadrature amplitude modulation (MQAM) constellation, we show that the specific qubits encoding the in-phase components and those encoding the quadrature components are independent in the quantum system of interest, which allows the in-phase and quadrature components to be detected separately using the QAOA. Furthermore, we characterize the degree of the objective function in the WMIN-$N$-SAT problem corresponding to the ML detection of multiple-input and multiple-output (MIMO) channels. Finally, we evaluate the approximation ratio of the QAOA for the ML detection problem of quadrature phase shift keying (QPSK) relying on QAOA circuits of different depths.

研究动机与目标

• 解决高阶调制下MIMO系统中ML检测的NP难复杂性问题。
• 实现在近期含噪声中等规模量子（NISQ）设备上的ML检测实用化。
• 开发一种系统化方法，用于基于量子优化为一般调制星座图构建问题哈密顿量。
• 表征WMIN-N-SAT公式中目标函数的次数，该次数决定了QAOA电路的复杂度。
• 评估QAOA在QPSK和MQAM星座图下的近似比性能。

提出的方法

• 将ML检测问题重新表述为具有伪布尔目标函数的加权最小N满足性（WMIN-N-SAT）问题。
• 通过将WMIN-N-SAT目标映射为作用于量子比特的泡利-Z算符之和，构建问题哈密顿量。
• 利用格雷映射星座图的结构，证明同相与正 quadrature 分量相互独立，从而支持独立检测。
• 推导目标函数中单项式系数的解析表达式，揭示基于比特模式的抵消规律。
• 证明在N_t个发射天线的情况下，目标函数的次数为N_I × N_t，其中N_I为每个星座图的同相比特数。
• 评估不同深度（最高至深度3）的QAOA电路在QPSK下的近似比，性能最高达0.92。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将一般星座图的ML检测映射为适合QAOA的形式？
• RQ2 在MIMO系统中，针对QPSK和MQAM星座图，WMIN-N-SAT公式中目标函数的次数是多少？
• RQ3 格雷映射结构如何影响哈密顿量的简化及单项式系数的特性？
• RQ4 在M-ary QAM的QAOA框架中，同相与正 quadrature 分量能否独立处理？
• RQ5 随着电路深度增加，QAOA在QPSK检测中可实现的近似比是多少？

主要发现

• 在WMIN-N-SAT公式中，目标函数的次数为N_I × N_t（N_t为发射天线数），该次数决定了所需QAOA电路的深度。
• 对于QPSK，目标函数的次数为N_t，且在QAOA电路深度为3时，近似比可达0.92。
• 在格雷映射的MQAM中，同相与正 quadrature 分量相互独立，支持独立检测并降低电路复杂度。
• 目标函数中高于N_I × N_t次数的单项式系数因星座点对称模式而相互抵消，结果为零。
• 当单个星座图（N_t = 1）时，目标函数的次数为N_I = ⌈N/2⌉，其中N为总比特数。
• 次数为N_I × N_t的单项式具有非零系数，无法被抵消，从而确认了目标函数的确切次数。