[论文解读] General laws of large numbers under sublinear expectations

Feng Hu|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文在次线性期望下建立了三个大数定律，将经典的强大数律和弱大数律扩展至非加性概率框架。通过放松独立同分布（i.i.d.）假设，证明了样本均值在上、下期望下以几乎必然收敛于区间 $[\underline{\mu}, \overline{\mu}]$，且通过次线性期望诱导的容量捕捉了分布收敛性。

ABSTRACT

In this paper, under some weaker conditions, we give three laws of large numbers under sublinear expectations (capacities), which extend Peng's law of large numbers under sublinear expectations in [8] and Chen's strong law of large numbers for capacities in [1]. It turns out that these theorems are natural extensions of the classical strong (weak) laws of large numbers to the case where probability measures are no longer additive.

研究动机与目标

• 通过去除随机变量的i.i.i.d.假设，将彭和陈在次线性期望下的大数定律进行扩展。
• 为次线性期望诱导的容量建立一般性的强大数律和弱大数律。
• 即使分布不相同，也以上下期望的形式刻画样本均值的几乎必然极限。
• 通过最大分布和次线性期望理论，证明容量收敛性。
• 通过非加性概率为金融和统计中的模型不确定性建模提供稳健框架。

提出的方法

• 使用次线性期望空间 $ (\Omega, \mathcal{H}, \mathbb{E}) $，其表示为 $ \mathbb{E}[X] = \sup_{P \in \hat{\mathcal{P}}} E_P[X] $，其中 $ \hat{\mathcal{P}} $ 是一组概率测度。
• 定义上、下容量 $ \mathbb{V}(A) = \mathbb{E}[I_A] $，$ v(A) = \mathcal{E}[I_A] $，其中 $ \mathcal{E}[X] = -\mathbb{E}[-X] $，以建模模糊性。
• 应用彭提出的次线性期望下独立同分布（i.i.d.）随机变量的概念。
• 构造测试函数 $ f, g \in C_{b,Lip}(\mathbb{R}) $ 以控制概率，并利用期望收敛性推断容量极限。
• 采用条件 $ \mathbb{E}[X_n] \downarrow 0 $ 当 $ X_n \downarrow 0 $（假设H），以确保次线性期望的正则性。
• 利用最大分布概念，将样本均值的极限集刻画为 $ [\underline{\mu}, \overline{\mu}] $，其中 $ \underline{\mu} = \inf \mathbb{E}[X_1] $，$ \overline{\mu} = \sup \mathbb{E}[X_1] $。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典强大数定律能否在不假设同分布的前提下，推广至次线性期望？
• RQ2 当随机变量独立但不同分布时，样本均值 $ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i $ 在次线性期望下的极限行为如何？
• RQ3 上、下容量 $ \mathbb{V} $ 和 $ v $ 如何刻画在模型不确定性背景下样本均值的收敛性？
• RQ4 在什么条件下可保证 $ \mathbb{V}\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \overline{\mu} \right) = 1 $ 且 $ \mathbb{V}\left(\liminf_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \underline{\mu} \right) = 1 $？
• RQ5 在更弱的矩或依赖性假设下，能否为次线性期望诱导的容量建立弱大数定律？

主要发现

• 在次线性期望下，即使不假设同分布，强大数定律依然成立：$ \mathbb{V}\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \overline{\mu} \right) = 1 $ 且 $ \mathbb{V}\left(\liminf_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \underline{\mu} \right) = 1 $，其中 $ \overline{\mu} = \sup \mathbb{E}[X_1] $，$ \underline{\mu} = \inf \mathbb{E}[X_1] $。
• 对任意 $ \varepsilon > 0 $，弱大数定律成立：$ \lim_{n\to\infty} \mathbb{V}\left( \left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - b \right| \leq \varepsilon \right) = 1 $，对所有 $ b \in (\underline{\mu}, \overline{\mu}) $ 成立。
• 样本均值的极限集以几乎必然性包含于 $ [\underline{\mu}, \overline{\mu}] $ 内，且 $ \limsup_{n\to\infty} |S_n|/n \leq \max\{|\overline{\mu}|, |\underline{\mu}|\} < \infty $。
• 对有界Lipschitz函数 $ f $，有 $ \mathbb{E}[f(S_n/n)] \to \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} f(y) $，该收敛性蕴含容量收敛。
• 证明依赖于构造测试函数 $ f $ 和 $ g $，使得 $ \mathbb{E}[f(S_n/n)] \to 0 $，从而推出 $ \mathbb{V}(S_n/n \leq \underline{\mu} - \varepsilon) \to 0 $，类似地可处理上尾部。
• 该结果通过去除i.i.d.条件，推广了彭和陈的定律，使其适用于在模型不确定性下具有异质性但相互独立的随机变量。