[论文解读] General Logic-Systems that Determine Significant Collections of Consequence Operators

Robert A. Herrmann|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2006

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文引入一般逻辑系统以在格论框架下分析可数语言上的有限结论算子，证明了可数语言上有限结论算子的格不是下确界完备的，且其基数为连续统。研究显示，每个有限结论算子均由可数多个一般逻辑系统生成，不同推理规则排列方式产生不同的系统，但对应相同的算子。

ABSTRACT

In this paper, general logic-systems and a necessary and sufficient algorithm are used to substantiate significant consequence operator properties. It is shown, among other results, that, in certain cases, (1) if the number of steps in a deduction is restricted, then such deduction does not yield a consequence operator. (2) In general, for any non-organized infinite language L, there is a special class of finite consequence operators that is not meet-complete. (3) For classical deduction, three different examples of modified propositional deduction yield collections of finite consequence operators that are not meet-complete. Other general logic-system examples are given. In a final section, the notion of potentially finite is investigated.

研究动机与目标

• 使用一般逻辑系统作为基础框架，研究有限结论算子。
• 证明在可数语言上，有限结论算子的格不是下确界完备的。
• 确立在可数语言上所有有限结论算子的集合具有连续统的基数。
• 证明每个有限结论算子可由可数个一般逻辑系统生成。
• 探讨语言特定性质如何影响有限结论算子的行为。

提出的方法

• 使用在语言 L 上由固定有限或无限组 n 元推理规则定义的一般逻辑系统。
• 应用基于预公理和推理规则的演绎算法，生成结论集。
• 通过改变推理规则中前提的顺序，构造不同的一般逻辑系统，同时保持生成的结论算子不变。
• 证明对于每个 n ≥ 2，存在 n! 个不同的一般逻辑系统，生成相同的有限结论算子。
• 使用非组织化语言——仅假设词素构成规则——以避免嵌入不必要的代数或逻辑结构。
• 将该框架应用于 GGU 模型，并通过超有限逻辑系统与超代理实现智能的正式度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般逻辑系统能否表征非空有限结论算子集合的格论上确界？
• RQ2 在可数语言上，有限结论算子的格是否为下确界完备的？
• RQ3 在可数语言上，所有有限结论算子的集合的基数是多少？
• RQ4 有多少个不同的一般逻辑系统可生成相同的有限结论算子？
• RQ5 有限结论算子的性质在多大程度上依赖于底层语言结构？

主要发现

• 通过构造一个非空集合，其下确界不存在，证明了在可数语言上有限结论算子的格不是下确界完备的。
• 在可数语言上，所有有限结论算子的集合具有连续统的基数。
• 对于语言 L 上的任意有限结论算子 C，存在可数多个不同的一般逻辑系统，可生成 C。
• 对于每个 n ≥ 2，存在 n! 个不同的一般逻辑系统，可生成相同的有限结论算子 C，这些系统通过改变推理规则中前提的顺序获得。
• 即使生成相同的结论算子，推理规则坐标的不同排列也会产生非同构的一般逻辑系统。
• 该框架支持通过超有限逻辑系统与超代理实现智能的正式度量，其中超演绎可得出标准代理无法达到的结论。