[论文解读] General Operads and Multicategories

Tom Leinster|ArXiv.org|Oct 8, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 19

一句话总结

本文通过在笛卡尔范畴 S 上引入 *-代数范畴中的范畴对象，将幺半范畴理论推广为 (S, ∗)-结构范畴。它在 (S, ∗)-多范畴与 (S, ∗)-结构范畴之间建立了阿代尔（monadic）伴随关系，扩展了经典多范畴与幺半范畴之间的伴随关系，并证明该伴随关系是阿代尔的，从而通过泛代数为结构范畴提供了范畴论框架。

ABSTRACT

Notions of `operad' and `multicategory' abound. This work provides a single framework in which many of these various notions can be expressed. Explicitly: given a monad * on a category S, we define the term `(S,*)-multicategory', subject to certain conditions on S and *. Different choices of S and * give some of the existing notions of operad and multicategory. We then describe the `algebras' for an (S,*)-multicategory and, finally, present a tentative selection of further developments. Our approach makes possible concise descriptions of Baez and Dolan's opetopes and Batanin's operads; both of these are included.

研究动机与目标

• 将幺半范畴的理论从经典情形（Sets, free monoid）推广至任意笛卡尔范畴 (S, ∗)。
• 将 (S, ∗)-结构范畴定义为 *-代数范畴 S()∗ 中的范畴对象。
• 在 (S, ∗)-多范畴与 (S, ∗)-结构范畴之间建立阿代尔伴随关系。
• 证明从 (S, ∗)-结构范畴到 (S, ∗)-多范畴的遗忘函子属于一个阿代尔伴随关系。
• 通过泛代数与多范畴理论，为结构范畴提供一个范畴论框架。

提出的方法

• 将 (S, ∗)-结构范畴定义为 (S()∗, id)-多范畴，即 *-代数范畴中的范畴对象。
• 利用 S 上的单子 *，在 S-Cat 上诱导出一个单子，将 (S, ∗)-结构范畴定义为该单子的代数。
• 在 (S, ∗)-多范畴与 (S, ∗)-结构范畴之间构造自由函子 F 与遗忘函子 U。
• 通过标准自然变换 ϕ 与 ψ 建立伴随关系 F ⊣ U，其中 P ⊣ Q 作为普通函子。
• 使用阿代尔性定理验证该伴随关系满足阿代尔条件。
• 将该构造应用于情形 (S, ∗) = (Sets, free monoid)，恢复经典多范畴与幺半范畴之间的伴随关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将幺半范畴的理论从 (Sets, free monoid) 的情形推广至任意笛卡尔范畴 (S, ∗)？
• RQ2 什么是在范畴论上正确且能推广幺半范畴的 (S, ∗)-结构范畴的定义？
• RQ3 是否存在 (S, ∗)-多范畴与 (S, ∗)-结构范畴之间的阿代尔伴随关系？
• RQ4 这些范畴之间的自由函子与遗忘函子的行为如何？其普遍性质是什么？
• RQ5 什么条件能确保 (S, ∗)-多范畴与 (S, ∗)-结构范畴之间的伴随关系是阿代尔的？

主要发现

• 本文为任意笛卡尔范畴 (S, ∗) 构造了 (S, ∗)-多范畴与 (S, ∗)-结构范畴之间的阿代尔伴随关系。
• 该伴随关系是阿代尔的，意味着 (S, ∗)-结构范畴与由自由-遗忘伴随关系诱导出的单子的代数等价。
• 从 (S, ∗)-结构范畴到 (S, ∗)-多范畴的遗忘函子是忠实的但不是满的，表明两种结构之间存在严格的范畴论区分。
• 该构造推广了经典多范畴与幺半范畴之间的伴随关系，当 (S, ∗) = (Sets, free monoid) 时可恢复该经典情形。
• 该伴随关系通过标准自然变换 ϕ 与 ψ 定义，且单位与余单位与这些变换适切地交换，确保了相干性。
• 该框架通过多范畴语境下的泛代数，为结构范畴提供了统一的范畴论处理方式。