[论文解读] General perversities and L^2 de Rham and Hodge theorems for stratified pseudomanifolds

Francesco Bei|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文通过为带权的拟边度量关联一般奇异性 $p_g$ 和 $q_g$，建立了分层伪流形上的 $L^2$ de Rham 与 Hodge 定理。证明了绝对 $L^2$ Hodge 上同调与最大 $L^2$ de Rham 上同调同构于奇异性为 $q_g$ 的交上同调，而相对 $L^2$ Hodge 与最小 $L^2$ de Rham 上同调同构于奇异性为 $p_g$ 的交上同调，将经典结果推广至更广泛的度量与奇异性类别。

ABSTRACT

Given a compact stratified pseudomanifold with a Thom-Mather stratification and a class of riemannian metrics over its regular part, we study the relationships between the $L^{2}$ de Rham and Hodge cohomology and the intersection cohomology of $X$ associated to some perversities. More precisely, to a kind of metric which we call \emph{quasi edge with weights}, we associate two general perversities in the sense of G. Friedman, $p_{g}$ and its dual $q_{g}$. We then show that the absolute $L^{2}$ Hodge cohomology is isomorphic to the maximal $L^{2}$ de Rham cohomology and this is in turn isomorphic to the intersection cohomology associated to the perversity $q_{g}$. Moreover we prove that the relative $L^{2}$ Hodge cohomology is isomorphic to the minimal $L^{2}$ de Rham cohomology and this is in turn isomorphic to the intersection cohomology associated to the perversity $p_{g}$.

研究动机与目标

• 在紧致分层伪流形的正则部分上，建立 $L^2$ de Rham 与 Hodge 上同调同一般奇异性下交上同调之间的对应关系。
• 定义一类黎曼度量——带权的拟边度量——其关联的奇异性 $p_g$ 与 $q_g$ 可使上同调群同构于交上同调。
• 解决逆问题：对于给定的一般奇异性 $p$，是否存在一个度量 $g$，使得 $L^2$ de Rham 与 Hodge 定理对 $p$ 成立？
• 证明当 $p$ 小于等于下中位奇异性或大于等于上中位奇异性时，此类度量存在。
• 通过同构关系与拉普拉斯算子的弗雷德霍姆性质，推导 $L^2$ 上同调群的结构性质。

提出的方法

• 在分层伪流形的正则部分引入一类称为“带权拟边”的黎曼度量，其通过在度量结构中允许变量指数，推广了边度量。
• 为每类此类度量 $g$，基于度量的权重参数，关联两个弗里德曼意义上的一般奇异性 $p_g$ 与 $q_g$。
• 证明最大 $L^2$ de Rham 上同调与绝对 $L^2$ Hodge 上同调同构于奇异性为 $q_g$ 的交上同调，而最小 $L^2$ de Rham 上同调与相对 $L^2$ Hodge 上同调同构于奇异性为 $p_g$ 的交上同调。
• 利用 Goresky-MacPherson 的层论框架与奇异空间上 $L^2$ 上同调的理论，建立上述同构关系。
• 分析 $L^2$ 拉普拉斯算子 $\Delta_{max,i}$ 与 $\Delta_{min,i}$ 的弗雷德霍姆性质，证明其具有闭值域，且核与余核均为有限维。
• 通过逆问题方法，构造当 $p \leq \underline{m}$ 或 $p \geq \overline{m}$ 时的度量，其中 $\underline{m}$ 与 $\overline{m}$ 分别为下中位与上中位奇异性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的一般奇异性 $p$，是否存在 $reg(X)$ 上的黎曼度量 $g$，使得 $L^2$ de Rham 与 Hodge 定理对 $p$ 成立？
• RQ2 带权拟边度量的 $L^2$ de Rham 与 Hodge 上同调群如何与关联奇异性 $p_g$ 与 $q_g$ 下的交上同调相关？
• RQ3 奇异性 $p$ 需满足何种条件，才能使由度量 $g$ 导出的 $L^2$ 上同调群同构于 $I^pH^i(X)$？
• RQ4 在何种条件下，$L^2$ Hodge 与 de Rham 上同调群将不依赖于度量的选择，而仅依赖于分层同伦型与奇异性？
• RQ5 当度量权重满足某些边界条件（如所有单峰 $c_Y \geq 1$）时，$L^2$ 上同调群的行为如何？

主要发现

• 绝对 $L^2$ Hodge 上同调与最大 $L^2$ de Rham 上同调同构于与 $p_g$ 对偶的奇异性 $q_g$ 对应的交上同调。
• 相对 $L^2$ Hodge 上同调与最小 $L^2$ de Rham 上同调同构于由度量权重定义的奇异性 $p_g$ 对应的交上同调。
• 当所有权重满足 $c_Y \geq 1$ 时，$L^2$ 上同调群与对应于下中位与上中位奇异性 $\underline{m}$ 与 $\overline{m}$ 的经典交上同调群一致。
• 当 $p_g$ 为 Goresky-MacPherson 意义下的经典奇异性，且满足余维数-1 单峰条件时，$L^2$ 上同调群分别与奇异性 $p_g$ 与 $q_g$ 对应的交上同调群一致。
• 若两个带权拟边度量诱导相同的奇异性 $p_g$，则其 $L^2$ 上同调群同构，表明在度量等价下具有不变性。
• $L^2$ 拉普拉斯算子 $\Delta_{max,i}$ 与 $\Delta_{min,i}$ 具有闭值域，且核与余核均为有限维，意味着 $L^2$ Hodge 与 de Rham 上同调群为有限维。