[论文解读] General PT-Symmetric Matrices

Jia-wen Deng, Uwe Guenther+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文引入并分类了三类可能具有全部实特征值的非厄米特矩阵：$π\mathcal{T}$-对称、伪厄米特以及广义$π\mathcal{T}$-对称矩阵。研究证明广义$π\mathcal{T}$-对称矩阵是最一般的类别，涵盖了所有自伴矩阵，并允许更丰富的若尔当代数块结构，同时提供了显式的参数计数和$2\times2$示例。

ABSTRACT

Three ways of constructing a non-Hermitian matrix with possible all real eigenvalues are discussed. They are PT symmetry, pseudo-Hermiticity, and generalized PT symmetry. Parameter counting is provided for each class. All three classes of matrices have more real parameters than a Hermitian matrix with the same dimension. The generalized PT-symmetric matrices are most general among the three. All self-adjoint matrices process a generalized PT symmetry. For a given matrix, it can be both PT-symmetric and P'-pseudo-Hermitian with respect to some P' operators. The relation between corresponding P and P' operators is established. The Jordan block structures of each class are discussed. Explicit examples in 2x2 are shown.

研究动机与目标

• 系统性地分类可能具有全部实特征值的非厄米特矩阵，超越标准PT-对称性。
• 比较三类矩阵——PT-对称、伪厄米特与广义PT-对称——在结构与参数方面的特性。
• 证明广义PT-对称矩阵是最一般的类别，且包含所有自伴矩阵作为特例。
• 分析各类矩阵中可能的若尔当代数块结构，并证明其在所有三类框架中均可实现。
• 在特定算符选择下，建立PT-对称性与伪厄米特性之间的等价性，并推导出相应宇称算符之间的关系。

提出的方法

• 通过联合的对合运算$\bar{\mathcal{P}}\mathcal{T}$引入广义$π\mathcal{T}$-对称矩阵，推广标准PT-对称性。
• 利用条件$[\bar{\mathcal{P}}\mathcal{T}, H] = 0$定义广义类，证明其包含所有自伴矩阵。
• 应用参数计数：任一$(m+n)\times(m+n)$矩阵在每一类中具有$(m+n)^2 + 2mn$个实参数，超过同尺寸厄米特矩阵的$(m+n)^2$个参数。
• 通过条件$WH = H^\dagger W$（其中$W$为厄米特且正定）分析度量算符$W$，并与伪厄米特性关联。
• 构造显式的$2\times2$示例，证明在特定$\mathcal{P}$与$\tilde{\mathcal{P}}$算符下，PT-对称与伪厄米特形式等价。
• 利用若尔当代数标准型分析，证明所有可能的若尔当代数块结构（包括不可对角化情形）在三类矩阵中均可实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有全部实特征值的非厄米特矩阵中最一般的类别是什么？
• RQ2 PT-对称、伪厄米特与广义PT-对称矩阵的参数数量与厄米特矩阵相比如何？
• RQ3 一个矩阵能否在不同宇称算符$\mathcal{P}$与$\tilde{\mathcal{P}}$下同时为PT-对称与伪厄米特？若能，这些算符之间有何关系？
• RQ4 各类矩阵中可实现的若尔当代数块结构有哪些？与可对角化情形有何不同？
• RQ5 在何种条件下PT-对称性可保证实谱？何时可能发生自发对称性破缺？

主要发现

• 广义$\bar{\mathcal{P}}\mathcal{T}$-对称矩阵是非厄米特矩阵中具有全部实特征值的最一般类别，包含所有自伴矩阵。
• $(m+n)\times(m+n)$矩阵在三类中均具有$(m+n)^2 + 2mn$个实参数，超过同尺寸厄米特矩阵的$(m+n)^2$个参数。
• 所有可能的若尔当代数块结构——包括可对角化与不可对角化情形——在$\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称与$\tilde{\mathcal{P}}$-伪厄米特矩阵中均可实现。
• 一个矩阵可同时为$\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称与$\tilde{\mathcal{P}}$-伪厄米特，对应于不同的算符$\mathcal{P}$与$\tilde{\mathcal{P}}$，本文推导出它们之间的显式关系。
• 在高于2维的情形下，自伴矩阵总是广义$\bar{\mathcal{P}}\mathcal{T}$-对称的，但不一定是$\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称或$\tilde{\mathcal{P}}$-伪厄米特的。
• 显式的$2\times2$示例验证了$\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称性与$\tilde{\mathcal{P}}$-伪厄米特性之间的等价性，给出了相应宇称算符与归一化因子的闭式表达式。