[论文解读] General quantum algorithms for Hamiltonian simulation with applications to a non-Abelian lattice gauge theory

Zohreh Davoudi, Alexander F. Shaw+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2022

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 5

一句话总结

本文提出了一种通用的量子算法，用于模拟具有多个量子数相关变化的哈密顿量，利用奇异值分解（SVD）对相互作用项进行对角化。将该方法应用于具有阶梯费米子的1+1维SU(2)规范场论时，通过采用保持规范对称性的环-弦-强子形式，避免了昂贵的受控操作，实现了显著的资源节约——CNOT门成本最高降低380倍，优于标准的施温格玻色子和角动量形式。

ABSTRACT

With a focus on universal quantum computing for quantum simulation, and through the example of lattice gauge theories, we introduce rather general quantum algorithms that can efficiently simulate certain classes of interactions consisting of correlated changes in multiple (bosonic and fermionic) quantum numbers with non-trivial functional coefficients. In particular, we analyze diagonalization of Hamiltonian terms using a singular-value decomposition technique, and discuss how the achieved diagonal unitaries in the digitized time-evolution operator can be implemented. The lattice gauge theory studied is the SU(2) gauge theory in 1+1 dimensions coupled to one flavor of staggered fermions, for which a complete quantum-resource analysis within different computational models is presented. The algorithms are shown to be applicable to higher-dimensional theories as well as to other Abelian and non-Abelian gauge theories. The example chosen further demonstrates the importance of adopting efficient theoretical formulations: it is shown that an explicitly gauge-invariant formulation using loop, string, and hadron degrees of freedom simplifies the algorithms and lowers the cost compared with the standard formulations based on angular-momentum as well as the Schwinger-boson degrees of freedom. The loop-string-hadron formulation further retains the non-Abelian gauge symmetry despite the inexactness of the digitized simulation, without the need for costly controlled operations. Such theoretical and algorithmic considerations are likely to be essential in quantumly simulating other complex theories of relevance to nature.

研究动机与目标

• 开发用于模拟具有复杂相关相互作用的多个量子数的哈密顿量的一般量子算法。
• 通过优化理论形式，降低规范场论数字量子模拟中的量子资源成本。
• 证明显式规范不变的形式（如环-弦-强子）可简化模拟过程，避免昂贵的受控操作。
• 针对非阿贝尔规范场论，在近场和容错模型中提供完整的量子资源分析。
• 表明高效的理论形式可在保持规范对称性的同时，显著降低门限数量，适用于离散时间演化。

提出的方法

• 使用奇异值分解（SVD）对具有非平凡函数系数的哈密顿量项进行对角化。
• 通过乘积公式实现离散时间演化，将演化算符分解为对角酉算符。
• 利用相位估计算法（远场）或变分量子电路（近场）实现对角酉算符，采用量子比特高效的编码方式。
• 采用SU(2)格点规范场论的环-弦-强子形式，显式保持规范不变性。
• 利用二阶Trotter误差界（基于对易子范数和谱范数）进行误差分析。
• 通过CNOT门和T门的门计数表，比较不同形式（施温格尔玻色子 vs. 环-弦-强子）的资源成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于SVD的对角化能否推广至高效模拟多个量子数相关变化的哈密顿量？
• RQ2 不同理论形式（施温格尔玻色子、角动量、环-弦-强子）如何影响规范场论模拟中的量子资源成本？
• RQ3 像环-弦-强子这样的规范不变形式能否在离散模拟中避免昂贵的受控操作，同时保持非阿贝尔对称性？
• RQ4 形式选择对近场和容错量子模拟中CNOT门和T门计数的定量影响是什么？
• RQ5 在离散时间演化中，误差界如何随系统尺寸、耦合强度和电场截断而变化？

主要发现

• 在x = 1且η = 4时，环-弦-强子（LSH）形式相比施温格尔玻色子形式，CNOT门成本最高降低380倍。
• 在x = 1时，LSH形式实现T门成本降低24.5倍，而在x = 1至x = 10范围内，降低幅度为21至24倍。
• LSH形式在不使用受控操作的情况下保持了非阿贝尔规范对称性，而标准形式则需要此类门。
• LSH形式的二阶Trotter误差界为ρLSH(x, Λ, µ) ≈ 47√2x³/3 + 2Λx² + ...，其缩放性能优于施温格尔玻色子形式。
• LSH形式减少了非零对易子项的数量及其重数，从而降低了误差和门数。
• 该算法具有通用性，可推广至更高维度及其他阿贝尔/非阿贝尔规范场论，而不仅限于SU(2) 1+1D示例。