[论文解读] General Relativity as a Genuine Connection Theory

R. Aldrovandi, H. I. Arcos+1 more|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义相对论的真实联络形式，其中洛伦兹自旋联络是基本引力场，由切空间坐标的福克-伊万尼克协变导数推导而来。由此产生的四维标架场与联络固有耦合，生成曲率，并将广义相对论的两个比安奇恒等式简化为一个，使该理论更贴近杨-米尔斯规范理论。

ABSTRACT

The Palatini formulation is used to develop a genuine connection theory for general relativity, in which the gravitational field is represented by a Lorentz-valued spin connection. The existence of a tetrad field, given by the Fock-Ivanenko covariant derivative of the tangent-space coordinates, implies a coupling between the spin connection and the coordinate vector-field, which turns out to be the responsible for the onset of curvature. This connection-coordinate coupling can thus be considered as the very foundation of the gravitational interaction. The peculiar form of the tetrad field is shown to reduce both Bianchi identities of general relativity to a single one, which brings this theory closer to the gauge theories describing the other fundamental interactions of Nature. Some further properties of this approach are also examined.

研究动机与目标

• 将广义相对论重新表述为一种真正的联络理论，其中自旋联络是基本场，而非度规或四维标架。
• 解决标准帕拉蒂尼形式中联络由四维标架导出而导致其基本角色丧失的理论问题。
• 证明四维标架可通过对切空间坐标进行福克-伊万尼克协变导数从自旋联络导出。
• 证明当自旋联络为基本场时，广义相对论的两个比安奇恒等式会坍缩为一个，使引力理论更接近规范场论。
• 探讨将时空微分同胚对称性替换为局部洛伦兹不变性作为基础对称性所带来的运动学与动力学后果。

提出的方法

• 采用一种修改后的帕拉蒂尼变分原理，其中四维标架与自旋联络为独立变量，但四维标架随后从自旋联络导出。
• 将四维标架定义为 $ h^{C}{}_{ u} = \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} = \nabla_{\nu} x^{C} + \bar{A}^{C}{}_{B\nu} x^{B} $，其中 $ \bar{A} $ 为里奇旋转系数（即自旋联络）。
• 使用福克-伊万尼克协变导数定义四维标架，确保其源自自旋联络而非基本场。
• 从自旋联络推导曲率与挠率张量，其中挠率虽为零但形式上非平凡地存在。
• 对曲率与挠率应用协变导数 $ \bar{\nabla} $，并利用恒等式 $ x^{B} \bar{\nabla}_{\rho} \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} = \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} $ 关联比安奇恒等式。
• 证明将曲率比安奇恒等式乘以 $ x^{B} $ 可得挠率比安奇恒等式，从而证明二者等价，并将两个恒等式简化为一个。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论能否被表述为一种真正的联络理论，其中自旋联络为基本场，而四维标架为导出量？
• RQ2 在基于联络的引力形式中，曲率的物理起源是什么？
• RQ3 自旋联络与坐标向量场之间的耦合如何产生引力效应？
• RQ4 为何当自旋联络为基本场时，广义相对论的两个比安奇恒等式会坍缩为一个？
• RQ5 该形式化对引力与其他规范场论统一有何影响？

主要发现

• 四维标架场由切空间坐标福克-伊万尼克协变导数导出，即 $ h^{C}{}_{\nu} = \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} $，使其成为依赖于自旋联络的导出场。
• 源自坐标协变导数的联络-四维标架耦合，是该形式中曲率的根本来源。
• 当自旋联络为基本场时，广义相对论的两个比安奇恒等式——关于挠率与曲率的——因恒等式 $ x^{B} \bar{\nabla}_{\rho} \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} = \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} $ 而坍缩为一个恒等式。
• 挠率满足 $ \bar{\nabla}_{\rho} \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} = \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} $，意味着 $ \bar{\nabla}_{\rho} \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} $ 垂直于 $ x^{C} $，因此 $ x_{A} \bar{\nabla}_{\nu} \bar{\nabla}_{\rho} x^{A} = 0 $。
• 宇宙学常数 $ \bar{\nabla}_{\rho} \bar{\nabla}_{\nu} x^{C} $ 自然地从切空间坐标的作用量中出现，即使在无引力情况下亦然。
• 该理论展现出基于局部洛伦兹不变性的运动学结构，而非微分同胚不变性，使引力更贴近杨-米尔斯规范场论。