[论文解读] General relativity from $p$-adic strings

An Huang, Bogdan A. Stoica+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2019

advanced mathematical theories被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种在弯曲目标时空中的p进弦作用量，表明量子p进弦的世界面缩放对称性导致真空爱因斯坦方程，类似于阿基米德情形。它将PGL(2, Qp)的未分歧主系的球形向量识别为平面波模式，并证明由于独特的归一化特性，圈图得以简化。一个关键结果是：在乘积关系假设下，阿代尔弦谱与黎曼ζ函数的非平凡零点之间存在联系。

ABSTRACT

For an arbitrary prime number $p$, we propose an action for bosonic $p$-adic strings in curved target spacetime, and show that the vacuum Einstein equations of the target are a consequence of worldsheet scaling symmetry of the quantum $p$-adic strings, similar to the ordinary bosonic strings case. It turns out that certain $p$-adic automorphic forms are the plane wave modes of the bosonic fields on $p$-adic strings, and that the regularized normalization of these modes on the $p$-adic worldsheet presents peculiar features which reduce part of the computations to familiar setups in quantum field theory, while also exhibiting some new features that make loop diagrams much simpler. Assuming a certain product relation, we also observe that the adelic spectrum of the bosonic string corresponds to the nontrivial zeros of the Riemann Zeta function.

研究动机与目标

• 建立真空爱因斯坦方程在目标时空中的出现，源于量子p进弦的世界面缩放对称性。
• 通过距离平方形式，将Zabrodin的p进弦作用量推广至弯曲目标时空。
• 分析PGL(2, Qp)的未分歧主系表示的球形向量在p进世界面上作为平面波模式的作用。
• 证明由于独特的归一化与正则化特性，p进弦理论中的圈图得以简化。
• 在乘积关系假设下，探索玻色弦的阿代尔谱与黎曼ζ函数非平凡零点之间的联系。

提出的方法

• 提出新的p进弦作用量 S = Σ⟨ij⟩∈E(Tp) d²(Xi,Xj)/a²⟨ij⟩，将Zabrodin作用量推广至弯曲目标时空。
• 将Bruhat-Tits树Tp上的动量本征函数识别为PGL(2, Qp)未分歧主系表示的球形向量。
• 使用树上的几何级数的解析正则化，包括对发散级数如∑1 = ζ(0) = −1/2的zeta函数正则化。
• 应用世界面缩放对称性，推导出强制满足真空爱因斯坦方程的一圈条件。
• 使用p进世界面路径积分，仔细归一化模式，计算树图级与一圈图的两点函数。
• 通过定义8中的正则化，证明实直线贡献在两点函数中消失，确保与p进主导性一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弯曲目标时空中的量子p进弦的世界面缩放对称性是否导致真空爱因斯坦方程？
• RQ2 PGL(2, Qp)的未分歧主系表示的球形向量如何作为p进世界面上的平面波模式？
• RQ3 正则化在p进弦模式归一化中的作用是什么？它如何简化圈图计算？
• RQ4 在乘积关系假设下，玻色弦的阿代尔谱是否可与黎曼ζ函数的非平凡零点相关联？
• RQ5 在所提出的正则化方案下，为何实直线对两点函数路径积分的贡献消失？

主要发现

• 在目标时空中的真空爱因斯坦方程由量子p进弦的世界面缩放对称性导出，与阿基米德情形类似。
• PGL(2, Qp)未分歧主系表示的球形向量被识别为p进弦场论中的平面波模式。
• p进世界面上模式归一化的正则化导致圈图简化，相比标准QFT降低了复杂度。
• 在缩放对称性条件下，两点函数的一圈修正消失，意味着无度规跑动，从而暗示爱因斯坦方程成立。
• 在乘积关系假设下，玻色弦的阿代尔谱对应于黎曼ζ函数的非平凡零点。
• 在所提正则化下，实直线对两点函数路径积分的贡献因抵消而消失，确保了p进主导性。