[论文解读] General relativity histories theory II: Invariance groups

Ntina Savvidou|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 7被引用 16

一句话总结

该论文证明，在广义相对论的历史理论中，当选择度规依赖的叶状结构为等变时，正则约束、作用泛函和运动方程在时空微分同胚下保持不变。此外，该框架中存在一个 Bergmann-Komar 群的表示，提供了时空与正则描述的统一，从而解决了量子引力中的时间问题。

ABSTRACT

We show in detail how the histories description of general relativity carries representations of both the spacetime diffeomorphisms group and the Dirac algebra of constraints. We show that the introduction of metric-dependent equivariant foliations leads to the crucial result that the canonical constraints are invariant under the action of spacetime diffeomorphisms. Furthermore, there exists a representation of the group of generalised spacetime mappings that are functionals of the four-metric: this is a spacetime analogue of the group originally defined by Bergmann and Komar in the context of the canonical formulation of general relativity. Finally, we discuss the possible directions for the quantization of gravity in histories theory.

研究动机与目标

• 通过确保由时空微分同胚关联的解在不同叶状结构下保持物理等价，来解决正则广义相对论中不同叶状结构之间的物理等价性问题。
• 证明当使用等变、度规依赖的叶状结构时，正则约束和运动方程在时空微分同胚下保持不变。
• 在历史形式化框架中，证明广义时空映射的 Bergmann-Komar 群存在表示。
• 为一种新的引力量子化方法奠定基础，该方法保持时空协变性并解决时间问题。

提出的方法

• 引入在时空微分同胚下等变的度规依赖叶状结构，其定义条件为 $\mathcal{E}(f^*g) = f^{-1} \circ \mathcal{E}(g)$。
• 在历史相空间 $\Pi^{\text{cov}} = T^*\text{LRiem}(M)$ 上使用辛结构，其泊松括号为 $\{g_{\mu\nu}(X), \pi^{\alpha\beta}(X')\} = \delta_{(\mu\nu)}^{\alpha\beta} \delta^4(X,X')$。
• 通过叶状结构 $\mathcal{E}(g)$ 推导四维度规的 3+1 分解，得到 $h_{ij}$、$N_i$ 和 $N^2$ 作为 $g$ 和 $\mathcal{E}(g)$ 的泛函。
• 证明由于叶状结构的等变性，哈密顿量和动量约束在时空微分同胚下保持不变。
• 构建 Bergmann-Komar 群 $\mathcal{BK}(M)$ 的表示，该群由四维度规 $g$ 的泛函构成的时空映射组成。
• 提出历史量子化程序可能通过利用经典相空间上的几何结构，避免显式构造超哈密顿算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正则广义相对论中，如何实现不同时空叶状结构之间的物理等价性？
• RQ2 何种数学条件可确保时空微分同胚在不同叶状结构下保持正则形式化的物理内容不变？
• RQ3 广义时空映射的 Bergmann-Komar 群是否可在广义相对论的历史形式化中实现表示？
• RQ4 引入等变叶状结构如何影响正则约束和作用泛函的不变性？
• RQ5 该框架对引力的量子化及时间问题有何影响？

主要发现

• 引入等变的度规依赖叶状结构，可确保正则约束、作用泛函和运动方程在时空微分同胚群 $\text{Diff}(M)$ 作用下保持不变。
• 条件 $\mathcal{E}(f^*g) = f^{-1} \circ \mathcal{E}(g)$ 保证了叶状结构在微分同胚下一致变换，从而保持切片的类空特性。
• 当叶状结构为等变时，由于度规的拉回与叶状结构对 $g$ 的泛函依赖之间的补偿作用，哈密顿量和动量约束在时空微分同胚下保持不变。
• 在历史理论框架中，存在一个 Bergmann-Komar 群 $\mathcal{BK}(M)$ 的表示——该群由四维度规的泛函构成的时空映射组成。
• 历史形式化支持时空协变性与正则协变性，实现了统一描述，可能解决量子引力中的时间问题。
• 该框架表明，量子化可能通过经典相空间上的几何结构实现，从而可能避免显式构造超哈密顿算符。