[论文解读] General rogue waves and their dynamics in several reverse time integrable nonlocal nonlinear equations

Bo Yang, Yong Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2017

Nonlinear Waves and Solitons被引用 3

一句话总结

该论文利用统一的二元达布变换（DT）方法，为反向时间可积非局部非线性方程——特别是非局部NLS方程和达维斯-斯图尔特森（DS）方程——构建了广义的怪波解。研究揭示，怪波的动态行为可表现为有界性或有限时间奇点，具体取决于自由参数；高阶解展现出新型混合结构，如抛物线形怪波和反射型孤立波，这些结构在局部对应方程中并不存在。

ABSTRACT

A study of general rogue waves in some integrable reverse time nonlocal nonlinear equations is presented. Specifically, the reverse time nonlocal nonlinear Schrödinger (NLS) and nonlocal Davey-Stewartson (DS) equations are investigated, which are nonlocal reductions from the AKNS hierarchy. By using Darboux transformation (DT) method, several types of rogue waves are constructed. Especially, a unified binary DT is found for this nonlocal DS system, thus the solution formulas for nonlocal DSI and DSII equation can be written in an uniform expression. Dynamics of these rogue waves is separately explored. It is shown that the (1+1)-dimensional rogue waves in nonlocal NLS equation can be bounded for both x and t, or develop collapsing singularities. It is also shown that the (1+2)-dimensional line rogue waves in the nonlocal DS equations can be bounded for all space and time, or have finite-time blowing-ups. All these types depend on the values of free parameters introduced in the solution. In addition, the dynamics patterns in the multi- and higher-order rogue waves exhibits more richer structures, most of which have no counterparts in the corresponding local nonlinear equations.

研究动机与目标

• 研究反向时间非局部非线性方程中怪波的存在性与动力学行为，这些方程由于时间反演对称性而与局部方程有本质不同。
• 将达布变换方法扩展至非局部可积系统，特别是非局部DS族，以构造精确的怪波解。
• 探究解中自由参数如何影响波的动力学行为，包括有界性与有限时间奇点。
• 比较非局部系统与局部方程中多阶与高阶怪波的结构复杂性，识别新的动力学模式。
• 通过一种新颖的二元达布变换，为非局部DSI和DSII方程建立统一的解公式。

提出的方法

• 采用达布变换（DT）方法，为反向时间非局部NLS和DS方程生成精确的有理函数解。
• 为非局部DS系统引入统一的二元达布变换，使DSI和DSII方程的解可用单一表达式表示。
• 通过对Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）族进行对称约化，推导出反向时间非局部NLS和DS方程。
• 利用双线性方法和依赖参数的解公式，分析基本解与高阶怪波的行为。
• 通过数值模拟与可视化，分析不同参数选择下的解动态，对有界性与奇点行为进行分类。
• 通过验证分母函数在特定参数条件下（如纯虚数f₁）保持实值或非零，验证解的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在反向时间非局部非线性方程中，怪波解是否存在？其中时间t处的解与时间-t处的解存在耦合关系。
• RQ2 解中的自由参数如何影响怪波的动力学行为？具体而言，是否会导致有界解或有限时间奇点解？
• RQ3 与局部对应方程相比，非局部系统中多阶与高阶怪波中涌现出哪些新型动力学模式？
• RQ4 能否为非局部DSI和DSII方程构建统一的达布变换？其是否能产生单一的解公式？
• RQ5 非局部DS方程中的(1+2)维怪波是否表现出混合行为，如局域孤立波反射自抛物线形怪波？

主要发现

• 非局部NLS方程中的基本(1+1)维怪波，其解在x和t上可为有界或发生坍缩奇点，具体取决于自由参数的取值。
• 非局部DS方程中的基本(1+2)维线状怪波，其解可在全空间和全时间范围内有界，或表现出有限时间爆破，同样由参数选择决定。
• 非局部NLS方程中的高阶怪波展现出新型混合结构，包括坍缩与非坍缩峰的三角形、五边形和圆形排列，这些结构在局部方程中未见。
• 在非局部DSI方程中，二阶解展现出独特动态模式：局域孤立波从无穷远处接近，反射自抛物线形怪波后退去，且抛物线形结构在t=0时从背景中浮现。
• 对于非局部DSII方程，当γ² = -1时，高阶解仅产生几乎全程奇点的解，而是否存在非奇点或有限时间爆破的解尚不明确。
• 统一的二元达布变换成功地以单一统一表达式生成了非局部DSI和DSII方程的解，从而实现了对它们动力学行为的系统性分析。