[论文解读] General sum-connectivity index of trees and unicyclic graphs with fixed maximum degree

Muhammad Kamran Jamil, Ioan Tomescu|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Graph theory and applications参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文通过使用 Jensen 不等式和边变换技术，确定了在最大度 Δ 固定的条件下，n 个顶点的树和单环图的最大广义和连通性指数。研究识别出极值图——具体为星形树和在中心顶点上附着路径与悬挂顶点的单环图——并证明当 $-1 \leq \alpha < 0$ 时，环 $C_n$ 是单环图中使该指数最大的图，且对 $n \geq 4$，第二大的图也已明确。该研究将先前关于和连通性指数（其中 $\alpha = -1/2$）的结果推广到了实指数 $\alpha$ 的广义情形。

ABSTRACT

The general sum-connectivity index of a graph $G$ is defined as $χ_α(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)} {(d(u)+d(v))^α}$, where $d(v)$ denotes the degree of the vertex $v$ in $G$ and $α$ is a real number. In this paper it is deduced the maximum value for the general sum-connectivity index of $n$-vertex trees for $-1.7036\leq α&lt;0$ and of $n$-vertex unicyclic graphs for $-1\le α&lt;0$ respectively, with fixed maximum degree $ riangle $. The corresponding extremal graphs, as well as the $n$-vertex unicyclic graphs with the second maximum general sum-connectivity index for $n\ge 4$ are characterized. This extends the corresponding results by Du, Zhou and Trinajsti\' c [arXiv:1210.5043] about sum-connectivity index.

研究动机与目标

• 确定在最大度 Δ 固定的条件下，使广义和连通性指数 $\chi_\alpha(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u)+d(v))^\alpha$ 最大的 n 个顶点的树和单环图。
• 将先前关于和连通性指数（其中 $\alpha = -1/2$）的研究结果推广到实数 $\alpha$ 的广义情形。
• 识别在度约束下实现最大和次大 $\chi_\alpha$ 值的极值图。
• 建立以 $n$、$\Delta$ 和 $\alpha$ 表示的 $\chi_\alpha(G)$ 的解析界，并给出等号成立的条件。
• 证明当 $-1 \leq \alpha < 0$ 时，环 $C_n$ 是唯一使 $\chi_\alpha$ 最大的单环图，并刻画第二大的图。

提出的方法

• 应用 Jensen 不等式分析函数 $x^\alpha$ 在 $\alpha < 0$ 时的凸性/凹性，从而比较边的贡献。
• 使用边变换引理：引理 2.1 表明，将路径集中到单个顶点可使 $\chi_\alpha$ 增大，当 $\alpha \geq \alpha_1 \approx -1.7036$ 时成立。
• 使用引理 2.2 证明：当 $-1 \leq \alpha < 0$ 时，将悬挂路径从度为 2 的顶点转移到邻居中度更小的顶点，可使 $\chi_\alpha$ 增大。
• 定义极值图：$T_{n,\Delta}$ 表示树（星形结构，含 $n-\Delta-1$ 条长度为 2 的路径和 $2\Delta+1-n$ 个悬挂顶点），$U_{n,\Delta}$ 表示单环图（三角形结构，含 $n-\Delta-1$ 条长度为 2 的路径和 $2\Delta-n-1$ 个悬挂顶点）。
• 推导出两种情形下最大 $\chi_\alpha$ 值的闭式表达：对于树，$n/2 \leq \Delta \leq n-1$ 和 $2 \leq \Delta \leq (n-1)/2$；对于单环图，$n+2/2 \leq \Delta \leq n-1$ 和 $2 \leq \Delta \leq (n+1)/2$。
• 证明函数 $f(x) = (x-2)3^\alpha + x(x+2)^\alpha + (n-2x+2)4^\alpha$ 在 $x \geq 2$ 且 $-1 \leq \alpha < 0$ 时严格递减，从而表明 $C_n$ 是最优的。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $-1.7036 \leq \alpha < 0$ 时，具有固定最大度 $\Delta$ 的 n 个顶点的树，其广义和连通性指数 $\chi_\alpha(G)$ 的最大值是多少？
• RQ2 当 $-1 \leq \alpha < 0$ 时，具有固定 $\Delta$ 的 n 个顶点的单环图，其 $\chi_\alpha(G)$ 的最大值是多少？
• RQ3 在这些图类中，哪些特定图结构实现了最大和次大的 $\chi_\alpha$ 值？
• RQ4 边变换规则（如路径集中与重定位）如何影响负 $\alpha$ 情况下 $\chi_\alpha$ 的值？
• RQ5 当 $-1 \leq \alpha < 0$ 时，环 $C_n$ 是否是唯一使 $\chi_\alpha$ 最大的单环图？第二好的图是什么？

主要发现

• 当 $n/2 \leq \Delta \leq n-1$ 且 $\alpha_1 \leq \alpha < 0$（其中 $\alpha_1 \approx -1.7036$）时，树的最大 $\chi_\alpha$ 为 $((\Delta+2)^\alpha - (\Delta+1)^\alpha + 3^\alpha)(n-\Delta-1) + \Delta(\Delta+1)^\alpha$，且唯一由 $T_{n,\Delta}$ 实现。
• 当 $2 \leq \Delta \leq (n-1)/2$ 且 $\alpha_1 \leq \alpha < 0$ 时，树的最大 $\chi_\alpha$ 为 $((\Delta+2)^\alpha + 3^\alpha - 4^\alpha)\Delta + (n-\Delta-1)4^\alpha$，且唯一由 $T_{n,\Delta}$ 实现。
• 当 $n+2/2 \leq \Delta \leq n-1$ 且 $-1 \leq \alpha < 0$ 时，单环图的最大 $\chi_\alpha$ 为 $(n-\Delta-1)3^\alpha + (n-\Delta+1)(\Delta+2)^\alpha + (2\Delta-n-1)(\Delta+1)^\alpha + 4^\alpha$，且唯一由 $U_{n,\Delta}$ 实现。
• 当 $2 \leq \Delta \leq (n+1)/2$ 且 $-1 \leq \alpha < 0$ 时，单环图的最大 $\chi_\alpha$ 为 $(\Delta-2)3^\alpha + \Delta(\Delta+2)^\alpha + (n-2\Delta+2)4^\alpha$，且由在环上某顶点处有 $\Delta-2$ 条长度至少为 2 的路径的图实现。
• 当 $-1 \leq \alpha < 0$ 时，环 $C_n$ 唯一地使所有 n 个顶点的单环图中 $\chi_\alpha$ 最大，其值为 $n \cdot 4^\alpha$。
• 当 $n \geq 4$ 时，第二大的 $\chi_\alpha$ 值由在某顶点上附着一条长度至少为 2 的路径的单环图实现：当 $n=4$ 时为 $2 \cdot 4^\alpha + 2 \cdot 5^\alpha$，当 $n \geq 5$ 时为 $(n-4)4^\alpha + 3 \cdot 5^\alpha + 3^\alpha$。