[论文解读] General Superfield Quantization Method. II. General Superfield Theory of Fields: Hamiltonian Formalism

Alexander A. Reshetnyak|ArXiv.org|Mar 31, 2003

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过扩展参考文献[1]中提出的超场量子化方法，将广义超场理论（GSTF）的哈密顿形式化建立起来，利用勒让德变换在由超场 $ \mathcal{A}^\imath(\theta) $、反超场 $ \mathcal{A}^\ast_\imath(\theta) $ 和一个奇格拉斯曼变量 $ \theta $ 参数化的奇相空间上推导出一个超哈密顿作用量 $ S_H $。主要贡献在于构造了等价的哈密顿系统，并通过二阶奇算符 $ \Delta^{cl}(\theta) $ 识别出非平凡的主方程，从而在超场形式下实现了类似BRST的对称性。

ABSTRACT

In the framework of started in Ref.[1] construction procedure of the general superfield quantization method for gauge theories in Lagrangian formalism the rules for Hamiltonian formulation of general superfield theory of fields (GSTF) are introduced and are on the whole considered. Mathematical means developed in [1] for Lagrangian formulation of GSTF are extended to use in Hamiltonian one. Hamiltonization for Lagrangian formulation of GSTF via Legendre transform of superfunction $S_{L}\bigl({\cal A}(θ),{\stackrel{\circ}{\cal A}}(θ),θ\bigr)$ with respect to ${\stackrel{\circ}{{\cal A}^{\imath}}}(θ)$ is considered. As result on the space $T^{\ast}_{odd}{\cal M}_{cl} imes \{θ\}$ parametrized by classical superfields ${\cal A}^{\imath}(θ)$, superantifields ${\cal A}^{\ast}_{\imath}(θ)$ and odd Grassmann variable $θ$ the superfunction $S_{H}({\cal A}(θ),{\cal A}^{\ast}(θ),θ)$ is defined. Being equivalent to different types of Euler-Lagrange equations the distinct Hamiltonian systems are investigated. Translations along $θ$ for superfunctions on $T^{\ast}_{odd}{\cal M}_{cl} imes \{θ\}$ being associated with these systems are studied. Various types of antibrackets and differential operators acting on $C^{k}\bigl(T^{\ast}_{odd}{\cal M}_{cl} imes \{θ\} \bigr)$ are considered. Component (on $θ$)formulation for GSTF quantities and operations is produced. Analogy between ordinary Hamiltonian classical mechanics and GSTF in Hamiltonian formulation is proposed. Realization of the GSTF general scheme is demonstrated on 6 models.

研究动机与目标

• 为广义超场理论（GSTF）发展一个哈密顿形式化，作为广义超场量子化方法（GSQM）的基础步骤。
• 将参考文献[1]中的拉格朗日超场形式化扩展到使用超场上的勒让德变换的哈密顿框架。
• 通过引入超反场、奇泊松括号和奇哈密顿方程，建立经典哈密顿力学与GSTF之间的对应关系。
• 研究二阶奇算符 $ \Delta^{cl}(\theta) $ 的作用及其与主方程和哈密顿系统可解性之间的关系。
• 通过六个具体模型（包括自由和自相互作用的标量、费米子和矢量超场，在不同维度中）演示该形式化。

提出的方法

• 对拉格朗日超作用量 $ S_L(\theta) $ 关于 $ \stackrel{\circ}{{\cal A}}^\imath(\theta) $ 执行勒让德变换，以在奇余切丛 $ T^\ast_{odd}{\cal M}_{cl} \times \{\theta\} $ 上定义哈密顿超函数 $ S_H({\cal A}(\theta), {\cal A}^\ast(\theta), \theta) $。
• 在 $ C^k(T^\ast_{odd}{\cal M}_{cl} \times \{\theta\}) $ 上引入一个奇泊松括号 $ (\cdot, \cdot)_\theta $，以表述奇哈密顿运动方程。
• 定义奇哈密顿超泛函 $ Z_H[\Gamma] = \int d\theta \left( \stackrel{\circ}{{\cal A}}^\imath(\theta) {\cal A}^\ast_\imath(\theta) - S_H(\Gamma(\theta), \theta) \right) $，推广标准作用量原理。
• 构造一个作用于超函数上的二阶奇微分算符 $ \Delta^{cl}(\theta) $，其生成非平凡的主方程 $ \Delta^{cl}(\theta) S_H = 0 $，从而确保哈密顿系统的自洽性。
• 分析沿哈密顿系统 $ \theta $-积分曲线的平移对称性，将其与规范不变性和可解性条件联系起来。
• 通过将超场按 $ \theta $ 的幂次展开，提供GSTF量的分量形式表述，从而实现与标准场论模型的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇相空间和格拉斯曼时间 $ \theta $ 的背景下，勒让德变换如何推广到超场？
• RQ2 定义在 $ T^\ast_{odd}{\cal M}_{cl} \times \{\theta\} $ 上的奇哈密顿系统的结构是什么？它与原始拉格朗日形式化有何关系？
• RQ3 二阶奇算符 $ \Delta^{cl}(\theta) $ 在生成主方程和确保哈密顿动力学自洽性方面起什么作用？
• RQ4 $ \theta $-超空间中的奇泊松括号和奇哈密顿运动方程如何推广经典力学？
• RQ5 该哈密顿形式化在自相互作用标量、费米子和矢量超场等具体模型中的适用程度如何？

主要发现

• 对拉格朗日超作用量 $ S_L(\theta) $ 执行勒让德变换后，可在奇相空间 $ T^\ast_{odd}{\cal M}_{cl} \times \{\theta\} $ 上明确定义哈密顿超函数 $ S_H({\cal A}(\theta), {\cal A}^\ast(\theta), \theta) $，从而实现GSTF的完整哈密顿形式化。
• 奇哈密顿运动方程 $ \frac{d_r \Gamma^p(\theta)}{d\theta} = (\Gamma^p(\theta), S_H(\theta))_\theta $ 将经典哈密顿流推广到超场配置。
• 二阶奇算符 $ \Delta^{cl}(\theta) $ 生成非平凡的主方程 $ \Delta^{cl}(\theta) S_H = 0 $，这对理论的自洽性和规范不变性至关重要。
• 对于自由模型，$ P_0(\theta) $ 和 $ P_1(\theta) $ 分量的运动方程相同且为线性；对于自相互作用模型，其形式不同，反映了非线性动力学。
• 该形式化在经典力学与GSTF之间建立了精确类比：超反场 $ \mathcal{A}^\ast_\imath(\theta) $ 对应于动量，奇泊松括号对应于标准泊松括号，奇哈密顿超泛函对应于标准作用量泛函。
• 该方法成功应用于六个模型，包括 $ D=4 $ 和 $ D=2k $ 中的有质量标量、费米子和矢量超场，证明了通过规范原理构建相互作用 $ \theta $-超场规范理论的可行性。