[论文解读] General theory of detection and optimality

Gniewomir Sarbicki|arXiv (Cornell University)|May 6, 2009

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文在凸几何中正规锥的框架下，发展了一套关于纠缠判据及其最优性的普遍几何理论。它推广了Lewenstein等人提出的最优性判据，表明当被纠缠判据‘消去’的乘积态向量张成整个希尔伯特空间时，该纠缠判据即为最优；然而，也存在反例表明，即使不满足此条件，最优性依然可能成立，揭示了纠缠判据集合边界中更深层的几何结构。

ABSTRACT

A general formulation of the problem of detection for a pair of two cones is presented. The special case is the detection of entangled states by entanglement witnesses. Having defined what means "to detect", one can identify the subset of elements, which detect optimally. I will present the properties of this set for a general pair of cones. In particular, I prove the generalization of the theorem of Lewenstein, Krauss, Cirac, Horodecki. The entanglement witness $W$ is optimall if the set of product vectors $\{ϕ\otimes ψ: \langle ϕ\otimes ψ| W | ϕ\otimes ψ angle = 0\}$ spans the whole Hilbert space of a system. There exist optimall entangled witness, which do not fullfill this property. It is closely related to some geometrical properties of the boundary of the set of entanglement witnesses and it is possible to say something more about location of such extraordinary states.

研究动机与目标

• 将纠缠判据的最优性概念推广至超越基于张成乘积态的常规判据。
• 利用凸几何中正规锥的理论，建立检测与最优性的几何框架。
• 研究纠缠判据检测最大纠缠态集合的条件，特别关注非可分解判据。
• 阐明纠缠判据锥边界结构在决定最优性中的作用。
• 识别出最优性无需要求零期望乘积态向量张成整个希尔伯特空间的情形，从而挑战常规判据。

提出的方法

• 将检测形式化为在更大正算子锥内，判据与可分态锥之间的对偶关系。
• 应用正规锥理论，包括面、对偶锥和生成集，以刻画最优元素。
• 通过判据生成的面仅在原点与可分态锥相交的条件来定义最优性。
• 利用被判据‘消去’的乘积态的锥包来评估判据是否生成完整的对偶锥。
• 通过要求判据及其部分转置均最大程度检测PPT纠缠态，引入nd-最优性（非可分解最优性）的概念。
• 证明：当且仅当被判据及其转置‘消去’的乘积态向量均张成整个希尔伯特空间时，判据为nd-最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，纠缠判据为最优，这与零期望乘积态向量张成希尔伯特空间的关系为何？
• RQ2 能否仅通过被判据‘消去’的乘积态的锥包来表征纠缠判据的最优性？
• RQ3 为何常规的张成条件并非最优性的必要条件？纠缠判据锥的何种几何特征可解释此现象？
• RQ4 判据最优性与零本征态乘积态向量锥包中全秩态之间的精确关系为何？
• RQ5 非可分解最优性理论如何扩展常规最优性判据？部分转置在此扩展中扮演何种角色？

主要发现

• 本文证明了Lewenstein、Krauss、Cirac与Horodecki定理的推广：当且仅当期望值为零的乘积态向量集合张成整个希尔伯特空间时，纠缠判据为最优。
• 存在反例表明，即使被判据‘消去’的乘积态向量未张成整个希尔伯特空间，判据仍可为最优，说明张成条件虽充分但非最优性的必要条件。
• 对于非可分解最优性（nd-最优性），当且仅当判据及其部分转置的零本征态乘积态向量均张成整个希尔伯特空间时，判据为最优。
• 可分态锥的对偶锥内部起着关键作用：当且仅当零本征态乘积态向量的锥包包含全秩态时，其锥包生成整个对偶锥，此时判据为最优。
• 纠缠判据锥的边界几何结构非平凡，因为面不必然分解为低维面，解释了为何张成条件并非必要。
• 该理论揭示，最优判据的集合可位于判据锥的边界上，其结构与判据锥、可分态锥及PPT态锥之间的相互作用密切相关。