[论文解读] Generalisations of the Camassa-Holm equation

В. С. Новиков|ArXiv.org|May 13, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用 30

一句话总结

本文通过应用摄动对称方法，对具有二次和三次非线性的Camassa-Holm方程的可积推广进行了分类。它识别出28个方程，包括新发现的方程，这些方程具有无限阶高阶对称性，并且等价于阶数为2、3和5的可积拟线性演化方程的负流，其中大多数方程提供了Lax表示或线性化变换。

ABSTRACT

We classify generalised Camassa-Holm type equations which possess infinite hierarchies of higher symmetries. We show that the obtained equations can be treated as negative flows of integrable quasi-linear scalar evolution equations of orders 2, 3 and 5. We present the corresponding Lax representations or linearisation transformations for these equations. Some of the obtained equations seem to be new.

研究动机与目标

• 对所有具有二次和三次非线性的Camassa-Holm方程的可积推广进行分类，这些方程需具备无限阶高阶对称性层级。
• 通过摄动对称方法，将分类范围扩展至已知的Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程之外。
• 在广义Camassa-Holm类中识别出可能支持新型解结构（如peakons和compactons）的新方程。
• 为所获得的方程建立Lax表示或线性化变换，以确认其可积性。
• 证明所有分类出的方程均来源于阶数为2、3和5的可积拟线性标量演化方程的负流。

提出的方法

• 在符号表示下应用摄动对称方法，以检验无限阶高阶对称性层级的存在性。
• 假设方程右侧是关于 $ u $ 及其 $ x $-导数的齐次微分多项式，次数为2或3。
• 使用微分多项式环 $ ar{R} $，并通过引入逆算子 $ riangle = (1 - D_x^2)^{-1} $ 来处理非演化结构。
• 对形式递归算子施加准局部性条件，以分离出可积情形。
• 为所得方程推导Lax表示或线性化变换，以确认其可积性。
• 通过将所获方程识别为阶数为2、3和5的标量演化方程的负流，将其与已知的可积层级联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有二次和三次非线性的Camassa-Holm方程推广具有无限阶高阶对称性层级？
• RQ2 是否可以使用符号设定下的摄动对称方法对所有此类可积方程进行分类？
• RQ3 所获方程是否对应于已知的可积层级？若是，它们与标量演化方程的负流有何关系？
• RQ4 该类中是否存在此前未知的新可积方程？
• RQ5 能否为新方程构建Lax表示或线性化变换？

主要发现

• 本文共识别出28个具有二次和三次非线性的Camassa-Holm方程可积推广，这些方程均具有无限阶高阶对称性层级。
• 其中，若干方程在作者所知范围内为新发现，包括形式为 $ (1 - D_x^2)u_t = u^2 u_{xxx} + 3u u_x u_{xx} - 4u^2 u_x $ 的方程，该方程近期已被研究用于peakon解。
• 所有分类出的方程均被证明是阶数为2、3和5的可积拟线性标量演化方程的负流。
• 对于大多数方程，已显式构造出Lax表示或线性化变换，从而确认了其可积性。
• 所有28个方程的首个非平凡高阶对称性均已提供，其中部分方程的对称性为准局部。
• 如方程(31)、(32)、(5)、(34)和(35)所示，这些方程具有双哈密顿结构和peakon解，且已推导出详细的Lax表示。