[论文解读] Generalised Bent Criteria for Boolean Functions (II)

Constanza Riera, George Petrides+1 more|ArXiv.org|Feb 9, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文推导了在广义 Hadamard 型变换 ${ I,H,N}^n$ 下，二次布尔函数平坦谱的递归公式，将谱平坦性与量子误差修正码（QECCs）联系起来。结果表明，最优 QECCs——特别是高距离的 QECCs——能最大化平坦谱，暗示了在度数大于 2 的布尔函数中，密码强度、纠缠与谱特性之间存在紧密关联。

ABSTRACT

In the first part of this paper [16], some results on how to compute the flat spectra of Boolean constructions w.r.t. the transforms {I,H}^n, {H,N}^n and {I,H,N}^n were presented, and the relevance of Local Complementation to the quadratic case was indicated. In this second part, the results are applied to develop recursive formulae for the numbers of flat spectra of some structural quadratics. Observations are made as to the generalised Bent properties of boolean functions of algebraic degree greater than two, and the number of flat spectra w.r.t. {I,H,N}^n are computed for some of them.

研究动机与目标

• 推导在 ${ I,H,N}^n$ 变换集下，递归二次布尔函数的平坦谱数量的递归公式。
• 研究平坦谱数量与布尔函数的密码强度或纠缠之间的关系。
• 探讨最优量子误差修正码（QECCs）是否对应于在 ${ I,H,N}^n$ 下具有最大平坦谱的布尔函数。
• 研究度数大于二的布尔函数在广义平坦谱准则下的行为。
• 建立互锁多项式与 ${ I,H,N}^n$ 变换下图谱特性之间的联系。

提出的方法

• 基于幺正矩阵 $I$、$H$（Hadamard）和 $N$（Negahadamard）构建广义变换框架，将其应用于布尔函数中的每个变量。
• 应用矩阵修改规则：对 $I$ 删除行/列，对 $N$ 将对角线元素从 1 变为 0，对 $H$ 保持不变。
• 通过检查修改后的邻接矩阵在模 2 下是否具有最大秩，来判断平坦谱是否存在。
• 将该方法应用于递归二次构造，如线性结构、团结构以及团-线-团结构。
• 对 $n \leq 9$ 进行穷举计算机搜索，以识别在 ${ I,H,N}^n$ 下具有最大平坦谱的布尔函数。
• 通过从二次布尔函数到 $\mathrm{GF}(4)$-加法码的映射，将平坦谱数量与 QECC 距离联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 ${ I,H,N}^n$ 变换集下二次布尔函数的平坦谱数量推导出递归公式？
• RQ2 对应于最优 QECCs 的布尔函数是否在 ${ I,H,N}^n$ 下表现出最多的平坦谱？
• RQ3 当布尔函数的代数度数超过二时，平坦谱数量如何变化？
• RQ4 是否存在组合或代数解释，将互锁多项式 $q(x)$ 和 $Q(x)$ 与 ${ I,H,N}^n$ 下图的谱平坦性联系起来？
• RQ5 能否构建嵌套团或基于超图的结构，以最大化高次布尔函数的平坦谱？

主要发现

• 推导出在 ${ I,H,N}^n$ 下团-线-团构造的平坦谱数量的递归公式，得到 $K_{n,m}^{HN} = 2^{n+m-4}(3nm + 2n + 2m + 4)$。
• 对于 $n \leq 9$，在 ${ I,H,N}^n$ 下平坦谱数量最多的二次布尔函数的唯一局部补全（LC）轨道对应于具有最大距离的最优 QECCs。
• 通过针对三次、四次和五次函数的穷举搜索，表明平坦谱数量随代数度数增加而减少。
• 发现最优 QECCs（具有最大距离）在 ${ I,H,N}^n$ 下能最大化平坦谱数量，暗示 QECC 距离与谱平坦性之间存在强关联。
• 在 $x=2$ 处计算的互锁多项式 $Q(x)$ 给出了 ${ I,H,N}^n$ 下的平坦谱数量，为谱特性提供了组合解释。
• 结果表明，嵌套团或基于超图的结构可能为度数大于 2 的函数产生高平坦谱数量，从而为未来递归构造提供动机。