[论文解读] Generalised Clifford groups and simulation of associated quantum circuits

Sean Clark, Richard Jozsa+1 more|ArXiv.org|Jan 15, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文通过将泡利群替换为任意有限子群 $ G \subset U(d) $，推广了 Gottesman-Knill 定理，识别出当 $ G \otimes G $ 的投影正规子群产生纠缠门时的条件。对于量子比特（$ d=2 $），该文全面分类了此类群，并发现仅由 $ X $ 和 $ Z $ 的 $ n $ 次方根生成的群才具有可产生纠缠的正规子群，从而将经典可模拟量子电路的范围扩展至标准 Clifford 群之外。

ABSTRACT

Quantum computations that involve only Clifford operations are classically simulable despite the fact that they generate highly entangled states; this is the content of the Gottesman-Knill theorem. Here we isolate the ingredients of the theorem and provide generalisations of some of them with the aim of identifying new classes of simulable quantum computations. In the usual construction, Clifford operations arise as projective normalisers of the first and second tensor powers of the Pauli group. We consider replacing the Pauli group by an arbitrary finite subgroup G of U(d). In particular we seek G such that G tensor G has an entangling normaliser. Via a generalisation of the Gottesman-Knill theorem the resulting normalisers lead to classes of quantum circuits that can be classically efficiently simulated. For the qubit case d=2 we exhaustively treat all finite subgroups of U(2) and find that the only ones (up to unitary equivalence and trivial phase extensions) with entangling normalisers are the groups G_n generated by X and the n^th root of Z.

研究动机与目标

• 通过将泡利群替换为任意有限子群 $ G \subset U(d) $，推广 Gottesman-Knill 定理，旨在识别新的、经典高效可模拟的量子电路类别。
• 研究 $ G \otimes G $ 的投影正规子群何时为纠缠门，因为这可通过广义 Gottesman-Knill 框架导致可模拟的量子电路。
• 对 $ U(2) $ 的所有有限子群（在酉等价和相位扩展下）进行全面分类，找出其 $ G \otimes G $ 的正规子群为纠缠门的群，重点研究量子比特情形。
• 探讨高维群（$ d \geq 3 $）或可约表示是否能在量子比特情形之外产生新的纠缠正规子群。
• 识别出能确保非平凡投影正规子群存在的群 $ G $ 的数学特征，尤其关注其与电路组合和模拟的关系。

提出的方法

• 将广义 Clifford 群定义为 $ G \otimes G $ 的投影正规子群，其中 $ G $ 是 $ U(d) $ 的有限子群，并研究其在纠缠性质方面的结构。
• 使用群论技术分析 $ U(2^2) $ 中 $ G \otimes G $ 的正规子群，重点关注投影正规子群结构及其与纠缠生成的关系。
• 应用计算代数程序，通过分析其正规子群并识别具有纠缠正规子群的群，对 $ U(2) $ 的所有有限子群（在酉等价和相位扩展下）进行分类。
• 刻画 $ G_m = \langle X, Z^{1/m} \rangle $ 的正规子群结构，证明 $ CZ $ 和 $ SWAP $ 生成了 $ G_m \otimes G_m $ 的完整正规子群，且对所有 $ m \in \mathbb{N} $，$ CZ $ 均为纠缠门。
• 利用有限群的表示理论，特别是二面体群 $ Q_{4n} $，证明除与 $ G_m $（$ m \in \mathbb{N} $）同构的结构外，不会出现新的投影正规子群结构。
• 研究 $ G^{\bigotimes n} $（$ n \geq 3 $）的正规子群结构，探讨是否存在由 $ n=1 $ 和 $ n=2 $ 成分组合而成的正规子群之外的新正规子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限子群 $ G \subset U(2) $ 满足 $ G \otimes G $ 的投影正规子群为纠缠门，从而产生经典可模拟的量子电路？
• RQ2 是否存在超越标准泡利群及其扩展的有限子群 $ G \subset U(2) $，可通过广义正规子群结构产生新的高效可模拟量子电路类别？
• RQ3 对于 $ n \geq 3 $，$ G^{\bigotimes n} $ 的正规子群是否可能包含由 $ n=1 $ 和 $ n=2 $ 正规子群无法生成的门，即使 $ G \otimes G $ 本身没有此类纠缠正规子群？
• RQ4 有限群 $ G \subset U(d) $ 的哪些数学性质可预示非平凡投影正规子群的存在，特别是与电路组合和模拟的关系？
• RQ5 高维群（$ d \geq 3 $）或 $ G \subset U(d) $ 的可约表示是否会产生在不可约情形下不存在的新纠缠正规子群？

主要发现

• 对于量子比特（$ d=2 $），在酉等价和相位扩展下，唯一具有 $ G \otimes G $ 的纠缠正规子群的有限子群 $ G \subset U(2) $ 是由泡利 $ X $ 门和 $ Z $ 门的 $ n $ 次方根生成的群，记为 $ G_m $（$ m \in \mathbb{N} $）。
• $ G_m \otimes G_m $ 的投影正规子群由控制-$ Z $ 门 $ CZ $、交换门和 $ G_m \otimes G_m $ 生成，且对所有 $ m \in \mathbb{N} $，$ CZ $ 均为纠缠门。
• 所有中心商同构于二面体群 $ D_{2n} $（$ n $ 为偶数）的 $ U(2) $ 有限子群，均酉等价于 $ G_m $ 的中心扩张，且对于二面体群 $ Q_{4n} $ 的不同不可约表示，不会出现新的正规子群结构。
• $ G_m \otimes G_m $ 的正规子群结构已被完全刻画，并显示其同构于标准 Clifford 群结构，且不存在超出泡利群已知范围的新纠缠正规子群。
• 对于 $ d \geq 3 $，在 $ U(3) $ 上的计算搜索未发现新的纠缠 teleportation 群，尽管由于群大小，全面分类在计算上仍具挑战性。
• 该论文未解决 $ n \geq 3 $ 时 $ G^{\bigotimes n} $ 的正规子群是否可能包含不由 $ n=1 $ 和 $ n=2 $ 成分构成的新结构，即使 $ G \otimes G $ 本身无此类纠缠正规子群。