[论文解读] Generalised Cosets

Saskia Demulder, Falk Haßler+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文将广义几何推广至双陪集 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$，构建了一个广义标架与取值于 $H$ 的旋扭连接，通过广义李导数实现协变常数的广义内在挠率。该框架使得在这些空间上对十维超引力进行一致截断成为可能，局域化的向量多重态源于连接 $\mathscr{A}$ 的非平凡holonomy，且揭示了与泊松-李对偶性及NS5-膜源的新型联系。

ABSTRACT

Recent work has shown that two-dimensional non-linear $σ$-models on group manifolds with Poisson-Lie symmetry can be understood within generalised geometry as exemplars of generalised parallelisable spaces. Here we extend this idea to target spaces constructed as double cosets $M=\widetilde{G} \backslash D / H$. Mirroring conventional coset geometries, we show that on $M$ one can construct a generalised frame field and a $H$-valued generalised spin connection that together furnish an algebra under the generalised Lie derivative. This results naturally in a generalised covariant derivative with a (covariantly) constant generalised intrinsic torsion, lending itself to the construction of consistent truncations of 10-dimensional supergravity compactified on $M$. An important feature is that $M$ can admit distinguished points, around which the generalised tangent bundle should be augmented by localised vector multiplets. We illustrate these ideas with explicit examples of two-dimensional parafermionic theories and NS5-branes on a circle.

研究动机与目标

• 将广义平行化空间的概念从右陪集 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 推广至双陪集 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$。
• 在 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ 上构建一个广义标架与取值于 $H$ 的广义旋扭连接，使其在广义李导数下封闭。
• 证明由此得到的广义协变导数具有（协变）常数的内在挠率，从而实现十维超引力的一致截断。
• 阐明在将 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 上连接 $\mathscr{A}$ 的非平凡holonomy 拉回到 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ 时，如何导致局域化向量多重态及NS5-膜源。
• 在具体例子中展示该框架，包括parafermionic理论与圆上NS5-膜，揭示其与 $\lambda$-变形及几何刚性之间的联系。

提出的方法

• 该构造使用一个具有符号分裂不变配对的李群 $\mathfrak{D}$，以及一个极大迷向子群 $\widetilde{G} \subset \mathfrak{D}$，其中 $H$ 是进一步作用于右侧的子群。
• 广义标架 $E_A$ 由 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ 中的陪集代表元 $m$ 构建，其在广义李导数下变换。
• 广义旋扭连接 $\mathscr{A}$ 定义为 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 上的平坦连接，其拉回到 $M$ 后可能非平凡，从而产生场强 $\mathscr{F}$。
• 内在挠率 $\mathcal{F}_{AB}{}^C$ 由 $\mathfrak{d}$（即 $\mathfrak{D}$ 的李代数）的结构常数导出，并在广义协变导数下保持协变常数。
• 该框架被应用于二维parafermionic理论与圆上NS5-膜，其中显式计算了广义度量与标架场。
• 分析了连接 $\mathscr{A}$ 的holonomy 的作用，表明非平凡holonomy 导致局域化向量多重态，并破坏了 $H$-场强的Bianchi恒等式，从而标志NS5-膜源的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义平行化几何如何从右陪集 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 推广至双陪集 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$？
• RQ2 取值于 $H$ 的广义旋扭连接 $\mathscr{A}$ 在定义 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ 上的一致广义协变导数中起什么作用？
• RQ3 在 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 上的连接 $\mathscr{A}$ 的非平凡holonomy 如何导致有效低维理论中的局域化向量多重态？
• RQ4 场强 $\mathscr{F}$ 及其在 $M$ 上的非零拉回如何通过破坏 $H$-场强Bianchi恒等式，标志NS5-膜源的存在？
• RQ5 广义标架与度量在 $M$ 上是否可用于实现 $\lambda$-变形，或表现出类似圆上NS5-膜情况下的刚性？

主要发现

• 在 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ 上，广义标架与取值于 $H$ 的旋扭连接在广义李导数下封闭，从而产生具有协变常数内在挠率的一致广义协变导数。
• 内在挠率 $\mathcal{F}_{AB}{}^C$ 由 $\mathfrak{d}$（即 $\mathfrak{D}$ 的李代数）的结构常数决定，并在广义导数下保持协变常数。
• 在 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 上的平坦连接 $\mathscr{A}$ 的非平凡holonomy 在拉回到 $M$ 后，由于非零场强 $\mathscr{F}$ 的存在，导致局域化向量多重态。
• $\mathscr{F}$ 在 $M$ 上的存在破坏了NS三形式 $H$ 的Bianchi恒等式，标志几何中存在NS5-膜源。
• 对于parafermionic理论，广义度量允许 $\lambda$-变形，这些变形在文献中被明确识别为可积变形。
• 在圆上NS5-膜的例子中，几何具有刚性，不允许可变的 $\lambda$-型变形，表明其几何结构与parafermionic情况截然不同。