[论文解读] Generalised Einstein condition and cone construction for parabolic geometries

Stuart Armstrong|ArXiv.org|May 16, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过在伴随丛上引入保持的对合，将爱因斯坦条件从黎曼几何和共形几何推广到所有抛物几何。该方法证明了此类对合诱导出唯一的仿射联络，其 rho-张量协变常数，从而在共形几何中恢复标准爱因斯坦度量，并为多种几何结构实现锥构造。

ABSTRACT

This paper attempts to define a generalisation of the standard Einstein condition (in conformal/metric geometry) to any parabolic geometry. To do so, it shows that any preserved involution $σ$ of the adjoint bundle $\mc{A}$ gives rise, given certain algebraic conditions, to a unique preferred affine connection $ abla$ with covariantly constant rho-tensor $\mathsf{P}$, compatible with the algebraic bracket on $\mc{A}$. These conditions can reasonably be considered the generalisations of the Einstein condition, and recreate the standard Einstein condition in conformal geometry. The existence of such an involution is implies by some simpler structures: preserved metrics when the overall algebra $\mf{g}$ is $\mf{sl}(m,\mbb{F})$, preserved complex structures anti-commuting with the skew-form for $\mf{g}=\mf{sp}(2m,\mbb{F})$, and preserved subundles of the tangent bundle, of a certain rank, for all the other non-exceptional simple Lie algebras. Examples of Einstein involutions are constructed or referenced for several geometries. The existence of cone constructions for certain Einstein involutions is then demonstrated.

研究动机与目标

• 将此前仅定义于共形几何与黎曼几何中的爱因斯坦条件推广至所有抛物几何。
• 确定伴随丛上保持对合的代数条件，以获得具有协变常数 rho-张量的优选仿射联络。
• 证明在共形几何中，这些广义条件退化为标准爱因斯坦度量条件。
• 建立某些爱因斯坦对合的锥构造，扩展已知的共形几何与射影几何中的构造。
• 统一非齐次抛物几何中爱因斯坦度量、里奇平坦性与全纯性约化的几何结构。

提出的方法

• 通过 $P$-主丛 $\mathcal{P}$ 上的卡坦联络 $\omega$ 定义与抛物几何相关的伴随丛 $\mathcal{A} = \mathcal{G} \times_G \mathfrak{g}$。
• 引入 $\mathcal{A}$ 上满足特定代数条件的保持对合 $\sigma$，包括与李括积的相容性，以及非退化度量或子丛结构的存在性。
• 构造唯一的仿射联络 $\nabla$ 在底流形 $M$ 上，使得其 rho-张量 $\mathsf{P}$ 协变常数（$\nabla \mathsf{P} = 0$），且与 $\mathcal{A}$ 上的代数括号相容。
• 通过将几何提升至高维流形 $\widetilde{M}$ 的方式建立锥构造，使用线丛 $L$ 和联络 $\widehat{\nabla}$，其中保持的全纯性确保度量或子丛结构的存在。
• 利用存在保持度量（当 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(m,\mathbb{F})$ 时）、复结构（当 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}(2m,\mathbb{F})$ 时）或子丛（对其他单李代数）来保证爱因斯坦对合的存在性。
• 通过 $\widehat{\nabla}$ 在 $\widetilde{\mathcal{V}}$ 上与 $\overrightarrow{\nabla}$ 在 $\mathcal{V}$ 上的全纯性等价性验证锥构造，确保诱导联络满足广义爱因斯坦条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 爱因斯坦条件能否超越共形几何与黎曼几何，推广至所有抛物几何？
• RQ2 伴随丛 $\mathcal{A}$ 上的对合 $\sigma$ 需满足何种代数条件，才能保证存在唯一的仿射联络 $\nabla$，使得 $\nabla \mathsf{P} = 0$？
• RQ3 在何种几何结构（如保持度量、复结构、子丛）下，非共形抛物几何中存在爱因斯坦对合？
• RQ4 在哪些抛物几何中，广义爱因斯坦条件允许锥构造？其必要与充分条件为何？
• RQ5 退化对合或 $\sigma(T^*) \cap \mathcal{A}_{(0)}$ 的失效如何影响所得到联络的唯一性与曲率性质？

主要发现

• 满足特定代数条件的伴随丛 $\mathcal{A}$ 上的保持对合 $\sigma$ 唯一确定一个具有协变常数 rho-张量 $\mathsf{P}$ 的仿射联络 $\nabla$，从而广义化了爱因斯坦条件。
• 在共形几何中，广义爱因斯坦条件退化为标准爱因斯坦度量条件，通过丛上度量恢复已知结果。
• 当 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(m,\mathbb{F})$ 时，$\mathcal{T}$ 上存在保持的非退化度量，意味着爱因斯坦对合的存在性。
• 当 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}(2m,\mathbb{F})$ 时，与反对称形式反交换的保持复结构确保爱因斯坦对合的存在性。
• 对其他非典型单李代数，若存在特定秩的 $\mathcal{T}$ 上保持子丛，则存在爱因斯坦对合。
• 当广义爱因斯坦条件成立时，锥构造是可能的，如共形几何、自由 $m$-分布、路径几何与几乎格拉斯曼几何所示，全纯性保持确保构造的有效性。