[论文解读] Generalised Hermite functions and their applications in Spectral Approximations

Changtao Sheng, Suna Ma+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2020

Numerical methods in engineering被引用 2

一句话总结

本文在任意维空间中引入广义埃尔米特函数（GHFs）及其伴随广义埃尔米特函数（A-GHFs），并建立了其在加权 $L^2$ 和分数阶索博列夫内积下的正交性。关键贡献在于提出一种基于 A-GHFs 的谱-伽辽金方法，该方法使积分分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$ 的刚度矩阵变为单位矩阵，从而实现对涉及此复杂算子的PDE的高效且精确的谱近似。

ABSTRACT

In 1939, G. Szego first introduced a family of generalised Hermite polynomials (GHPs) as a generalisation of usual Hermite polynomials, which are orthogonal with respect to the weight function $|x|^{2\mu} \e^{-x^2},\mu>-\frac 12$ on the whole line. Since then, there have been a few works on the study of their properties, but no any on their applications to numerical solutions of partial differential equations (PDEs). The main purposes of this paper are twofold. The first is to construct the generalised Hermite polynomials and generalised Hermite functions (GHFs) in arbitrary $d$ dimensions, which are orthogonal with respect to $|\bx|^{2\mu} \e^{-|\bx|^2}$ and $|\bx |^{2\mu}$ in $\mathbb R^d,$ respectively. We then define a family of adjoint generalised Hermite functions (A-GHFs) upon GHFs, which has two appealing properties: (i) the Fourier transform maps A-GHF to the corresponding GHF; and (ii) A-GHFs are orthogonal with respect to the inner product $[u,v]_{H^s(\mathbb R^d)}=((-\Delta)^{\frac s 2}u, (-\Delta)^{\frac s 2} v )_{\mathbb R^d}$ associated with the integral fractional Laplacian. The second purpose is to explore their applications in spectral approximations of PDEs. As a remarkable consequence of the fractional Sobolev-type orthogonality, the spectral-Galerkin method using A-GHFs as basis functions leads to an identity stiffness matrix for the integral fractional Laplacian operator $(-\Delta)^s,$ which is known to be notoriously difficult and expensive to discretise. ....

研究动机与目标

• 在 $d$-维空间中，针对权函数 $|\mathbf{x}|^{2\mu} e^{-|\mathbf{x}|^2}$ 和 $|\mathbf{x}|^{2\mu}$，分别构造广义埃尔米特函数（GHFs）和伴随广义埃尔米特函数（A-GHFs）。
• 证明傅里叶变换将 A-GHFs 映射为其对应的 GHFs，从而确保关键的对偶性质。
• 证明 A-GHFs 关于分数阶索博列夫内积 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)}$ 正交，从而将其与积分分数阶拉普拉斯算子联系起来。
• 将 A-GHFs 应用于 PDE 的谱-伽辽金方法，特别是针对具有挑战性的 $(-\Delta)^s$ 算子。
• 证明当使用 A-GHFs 时，$(-\Delta)^s$ 的刚度矩阵变为单位矩阵，从而极大简化数值求解过程。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}$ 上，基于权函数 $|x|^{2\mu} e^{-x^2}$ 构造正交多项式，即广义埃尔米特多项式（GHPs），并将其推广至 $d$ 维空间。
• 定义 GHFs 为 $\psi_{\alpha}^{(\mu)}(\mathbf{x}) = H_{\alpha}^{(\mu)}(\mathbf{x}) e^{-|\mathbf{x}|^2/2}$，其中 $H_{\alpha}^{(\mu)}$ 为 $d$ 维广义埃尔米特多项式。
• 引入 A-GHFs 作为对偶基，使得傅里叶变换将每个 A-GHF 映射为其对应的 GHF。
• 证明 A-GHFs 关于分数阶索博列夫内积 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)} = ((-\Delta)^{s/2}u, (-\Delta)^{s/2}v)_{L^2(\mathbb{R}^d)}$ 正交，从而使其适用于基于 $H^s$ 的变分公式。
• 基于 A-GHFs 作为基函数，构建谱-伽辽金方法，结果表明对于算子 $(-\Delta)^s$，其刚度矩阵恒为单位矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意维空间中，针对权函数 $|\mathbf{x}|^{2\mu} e^{-|\mathbf{x}|^2}$ 系统地构造广义埃尔米特函数？
• RQ2 是否存在伴随广义埃尔米特函数（A-GHFs），使得傅里叶变换将其映射为对应的 GHFs？
• RQ3 是否存在一个自然内积，使得 A-GHFs 在其上正交，特别是与分数阶索博列夫空间 $H^s(\mathbb{R}^d)$ 相关的内积？
• RQ4 能否利用 A-GHFs 构建一种谱-伽辽金方法，使得积分分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$ 的刚度矩阵为对角或单位矩阵？
• RQ5 此类单位刚度矩阵对涉及 $(-\Delta)^s$ 的 PDE 的谱近似效率与精度有何影响？

主要发现

• A-GHFs 关于分数阶索博列夫内积 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)}$ 正交，为基于 $H^s$ 的 PDE 提供了自然的变分框架。
• 傅里叶变换将每个 A-GHF 映射为其对应的 GHF，建立了简化分析与计算的谱对偶性。
• 采用 A-GHFs 作为基函数的谱-伽辽金方法，使积分分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$ 的刚度矩阵恒为单位矩阵，从而无需进行昂贵的矩阵组装。
• 该单位刚度矩阵使得涉及 $(-\Delta)^s$ 的 PDE 的谱近似实现高效且高精度，而这类算子在传统方法中极难离散化。
• 该构造将经典埃尔米特函数推广至加权的、分数阶索博列夫设置，为非局部 PDE 开辟了新的谱方法。
• 该方法适用于任意维数 $d$，且在广义权函数 $|\mathbf{x}|^{2\mu}$ 下，正交性与对偶性性质得以保持。