[论文解读] Generalised hypergeometric ensembles of random graphs: the configuration model as an urn problem

Giona Casiraghi, Vahan Nanumyan|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

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一句话总结

本文提出了广义超几何随机图系综（GHypEG），一种可解析处理的模型，将配置模型表述为具有偏向边采样的瓮模型。通过使用Wallenius的非中心超几何分布，GHypEG实现了闭式概率表达式，并能纳入任意边倾向性，克服了传统配置模型的计算不可行性，同时支持对经验网络中复杂二元模式的假设检验。

ABSTRACT

We introduce a broad class of random graph models: the generalised hypergeometric ensemble (GHypEG). This class enables to solve some long standing problems in random graph theory. First, GHypEG provides an elegant and compact formulation of the well-known configuration model in terms of an urn problem. Second, GHypEG allows to incorporate arbitrary tendencies to connect different vertex pairs. Third, we present the closed-form expressions of the associated probability distribution ensures the analytical tractability of our formulation. This is in stark contrast with the previous state-of-the-art, which is to implement the configuration model by means of computationally expensive procedures.

研究动机与目标

• 为解决标准配置模型缺乏解析可处理性的问题，该模型依赖于计算成本高昂的重连过程。
• 将配置模型推广，以允许在边形成过程中存在任意二元偏差，从而能够对超越度序列的复杂网络模式进行建模。
• 为具有给定期望度序列和边倾向性的随机图提供闭式概率分布。
• 建立一个框架，用于在网络分析中进行稳健的统计假设检验与模型选择，基于可解析处理的系综。
• 通过使用Wallenius的非中心超几何分布，将配置模型与更广泛的随机图系综统一于单一、有原则的瓮基公式之下。

提出的方法

• 将边形成过程表述为多变量瓮问题，其中边根据倾向性矩阵Ω以偏向方式采样。
• 使用Wallenius的非中心超几何分布来建模邻接矩阵A中边多重性的概率，其闭式表达式源自积分表示。
• 定义组合矩阵Ξ以捕捉在给定约束下可能的边组合总数，从而实现精确的概率计算。
• 引入软配置模型作为特例，当所有边倾向性相等（Ω ≡ const）时，该模型在期望下恢复标准配置模型。
• 推导出一种方法，通过涉及对数变换的方程组，估计倾向性矩阵Ω，使得模型的期望邻接矩阵与经验图G相匹配。
• 将模型应用于带自环的有向与无向多图，通过Ξ与Ω的对称或非对称公式，确保在不同图类型下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何重新表述配置模型，以实现概率的解析计算，避免昂贵的重连过程？
• RQ2 能否构建一个通用的随机图系综，使其在保持解析可处理性的同时，纳入任意二元偏好（边倾向性）？
• RQ3 在具有固定期望度和偏向边采样的随机图系综中，边多重性的精确概率分布是什么？
• RQ4 如何估计倾向性矩阵Ω，使得模型的期望图与给定的经验图相匹配？
• RQ5 该框架在多大程度上能够支持对超越度异质性的复杂网络模式进行统计假设检验与模型选择？

主要发现

• GHypEG模型为具有给定期望度序列和边倾向性的随机图提供了基于Wallenius非中心超几何分布的闭式解析表达式。
• 当所有边倾向性相等（Ω ≡ const）时，软配置模型作为GHypEG的特例被恢复，确认了其在期望下与标准配置模型的一致性。
• 通过求解涉及观测边多重性A_ij与倾向性矩阵Ω之间对数变换关系的方程组，可使模型的期望邻接矩阵精确匹配任意经验图G。
• 该模型支持对网络模式进行稳健的统计推断与假设检验，因为其解析形式可高效计算似然与模型比较。
• 该框架支持多层网络回归，通过允许对观测多图数据拟合关系层的加权组合，促进对多种交互机制的研究。
• 特定图实现的概率被表达为对上三角矩阵中Wallenius分布项的乘积，其中组合矩阵Ξ考虑了在约束条件下所有可能的边配置。