[论文解读] Generalised intermediate dimensions

Amlan Banaji|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文引入了 $\Phi$-中间维数，作为 Falconer 等人提出的中间维数的推广，通过将固定的缩放区间 $[\delta^{1/\theta}, \delta]$ 替换为更广泛的函数类 $\Phi(\delta)$，从而实现对具有不连续中间维数的分形集的更精细几何分析。主要贡献在于证明：对于任意紧致集，存在一族 $\Phi$ 函数，可完全在豪斯多夫维数与上盒维数之间插值，即使在标准中间维数失效的情况下亦成立。

ABSTRACT

We introduce a family of dimensions, which we call the $Φ$-intermediate dimensions, that lie between the Hausdorff and box dimensions and generalise the intermediate dimensions introduced by Falconer, Fraser and Kempton. This is done by restricting the relative sizes of the covering sets in a way that allows for greater refinement than in the definition of the intermediate dimensions. We also extend the theory from Euclidean space to a wider class of metric spaces. We prove that these dimensions can be used to 'recover the interpolation' between the Hausdorff and box dimensions of compact subsets for which the intermediate dimensions are discontinuous at $θ=0$, thus providing finer geometric information about such sets. We prove continuity-like results involving the Assouad and lower dimensions, which give a sharp general lower bound for the intermediate dimensions that is positive for all $θ\in (0,1]$ for sets with positive box dimension. We also prove Hölder distortion estimates, a mass distribution principle, and a Frostman type lemma, which we use to study dimensions of product sets.

研究动机与目标

• 通过用更广泛的函数类 $\Phi(\delta)$ 取代固定的缩放区间，推广中间维数，从而实现对分形集的更精细几何分析。
• 将中间维数理论从欧几里得空间推广至更广泛的度量空间类别。
• 解决标准中间维数在 $\theta=0$ 处不连续的情形，提供豪斯多夫维数与上盒维数之间的连续插值。
• 建立涉及 Assouad 维数与下维数的类似连续性界，为 $\theta \in (0,1]$ 提供精确的正下界。
• 开发诸如质量分布原理和 Frostman 型引理等工具，用于研究乘积集的维数。

提出的方法

• 通过将覆盖集直径限制在区间 $[\Phi(\delta), \delta]$ 内来定义 $\Phi$-中间维数，其中 $\Phi$ 为满足 $\Phi(\delta) \to 0$ 且 $\Phi(\delta)/\delta \to 0$ 的可接受函数，当 $\delta \to 0^+$ 时成立。
• 将定义推广至度量空间中的紧致子集，将框架扩展至欧几里得空间之外。
• 证明在 Hölder 连续映射下 $\Phi$-中间维数的 Hölder 误差估计，显示其对 Hölder 指数的依赖性。
• 建立质量分布原理与 Frostman 型引理，通过具有受控衰减特性的测度来界定 $\Phi$-中间维数。
• 利用这些工具推导 $\Phi$-中间维数的乘积公式与有限稳定性性质。
• 构造显式函数族 $\Phi_s$，使得对所有 $s \in [\dim_H F, \overline{\dim}_B F]$，有 $\underline{\dim}^{\Phi_s}F = \min\{s, \underline{\dim}_B F\}$ 且 $\overline{\dim}^{\Phi_s}F = \min\{s, \overline{\dim}_B F\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将中间维数推广，以实现对覆盖集相对大小的更精细控制，特别是对于标准中间维数在 $\theta=0$ 处不连续的集合？
• RQ2 能否构造一族函数 $\Phi$，使得 $\Phi$-中间维数可对任意紧致集完全在豪斯多夫维数与上盒维数之间插值？
• RQ3 在 Hölder 映射与利普希茨映射下，$\Phi$-中间维数的行为如何？可建立何种误差估计？
• RQ4 控制 $\Phi$-中间维数的质量分布原理与 Frostman 型原理是什么？如何用于分析乘积集？
• RQ5 $\Phi$-中间维数在参数 $\Phi$ 上是否连续？能否在不同集合之间实现连续性？

主要发现

• 对于任意紧致集 $F$，存在一族可接受函数 $\Phi_s$，使得对所有 $s \in [\dim_H F, \overline{\dim}_B F]$，有 $\underline{\dim}^{\Phi_s}F = \min\{s, \underline{\dim}_B F\}$ 且 $\overline{\dim}^{\Phi_s}F = \min\{s, \overline{\dim}_B F\}$，从而实现豪斯多夫维数与上盒维数之间的完全插值。
• $\Phi$-中间维数在标准中间维数中关于 $\theta$ 是连续的，但本文表明，当使用不同的 $\Phi$ 家族时，对于其他集合，这种连续性可能失效，如通过 $F = E \cup G$ 的反例所展示。
• 建立了 $\Phi$-中间维数的精确下界：对于任意正上盒维数的集合，其 $\Phi$-中间维数在所有 $\theta \in (0,1]$ 上均为正，且该下界依赖于下维数与 Assouad 维数。
• 证明了 Hölder 误差估计：若 $f$ 是 $\alpha$-Hölder 映射，则 $\dim^{\Phi}_{\mathrm{H}}(f(E)) \leq \alpha \cdot \dim^{\Phi}_{\mathrm{H}}(E)$，表明维数在 Hölder 映射下的缩放方式。
• 建立了质量分布原理：若某测度 $\mu$ 满足对所有 $x$ 及小的 $r$，有 $\mu(B(x,r)) \leq C \cdot \Phi(r)^s$，则 $\dim^{\Phi}(E) \geq s$，为下界提供工具。
• 证明了 Frostman 型引理：对任意 $s < \dim^{\Phi}(E)$，存在 Borel 测度 $\mu$，使得对所有 $x$ 及小的 $r$，有 $\mu(B(x,r)) \leq C \cdot \Phi(r)^s$，从而可通过测度构造实现上界估计。