[论文解读] Generalised Pattern Avoidance
本文引入广义排列模式，其中模式中相邻的字母在排列中也必须相邻，从而扩展了经典模式避免的概念。它完整枚举了长度为三且恰好包含一个相邻字母对的单一模式的排列避免问题，将这些排列与组合结构（如卡塔兰数、莫茨金路径和对合）联系起来，并引入了单调划分作为与非重叠划分一一对应的全新类别。
Recently, Babson and Steingrimsson have introduced generalised permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. We consider pattern avoidance for such patterns, and give a complete solution for the number of permutations avoiding any single pattern of length three with exactly one adjacent pair of letters. We also give some results for the number of permutations avoiding two different patterns. Relations are exhibited to several well studied combinatorial structures, such as set partitions, Dyck paths, Motzkin paths, and involutions. Furthermore, a new class of set partitions, called monotone partitions, is defined and shown to be in one-to-one correspondence with non-overlapping partitions.
研究动机与目标
- 通过引入广义模式来扩展经典模式避免，其中模式中相邻的字母在排列中也必须相邻。
- 枚举长度为三且恰好包含一个相邻字母对的单一广义模式的排列避免问题。
- 建立避免特定广义模式的排列与知名组合对象（如迪尔克路径、莫茨金路径和对合）之间的双射关系。
- 定义并研究一类新的集合划分——单调划分，证明其与非重叠划分之间存在一一对应关系。
提出的方法
- 使用线性有序字母表定义广义模式，通过在相邻字母之间添加连字符以强制在排列中相邻。
- 基于最大元素的位置对排列进行递归分解，推导生成函数和递推关系。
- 通过显式映射建立避免模式的排列与组合结构之间的双射关系，例如从避免 (a-bc) 和 (ac-b) 的排列到莫茨金路径的映射。
- 将单调划分定义为非单元素块可按最小值和最大值同时递增排序的集合划分。
- 通过与单调划分的对应关系，证明避免 (a-bc) 和 (ab-c) 的排列数目等于贝塞尔数 B*n。
- 利用已知的迪尔克路径和左到右最小值结果，证明不同避免模式类中统计量的等分布性。
实验结果
研究问题
- RQ1长度为 n 的排列中，有多少个避免了恰好包含一个相邻字母对的长度为三的广义模式？
- RQ2哪些组合结构与避免特定长度为三的广义模式的排列存在双射关系？
- RQ3能否定义一类新的集合划分——单调划分，并证明其与非重叠划分之间存在一一对应关系？
- RQ4避免模式 (b-ac) 的排列中左到右最小值的分布是什么？其与迪尔克路径有何关联？
- RQ5要求相邻性的广义模式如何影响受限排列的枚举与结构？
主要发现
- 避免广义模式 (a-bc) 或 (a-bc)（无连字符）的长度为 n 的排列数目为第 n 个贝尔数 Bn，对应于 [n] 的集合划分。
- 避免 (b-ac) 的排列数目为第 n 个卡塔兰数 Cn，对应于长度为 2n 的迪尔克路径。
- 同时避免 (a-bc) 和 (ab-c) 的排列数目为第 n 个贝塞尔数 B*n，对应于 [n] 的非重叠划分。
- 同时避免 (a-bc) 和 (ac-b) 的排列数目为第 n 个莫茨金数 Mn，对应于长度为 n 的莫茨金路径。
- 同时避免 (a-bc) 和 (a-cb) 的排列数目为对称群 Sn 中的对合数 In。
- 定义了一类新的集合划分，称为单调划分，并证明其与非重叠划分之间存在一一对应关系。
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