[论文解读] Generalised representations as q-connections in integral $p$-adic Hodge theory

Matthew Morrow, Takeshi Tsuji|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文在完美oid域的环 $A_{\text{inf}}$ 上，建立了一个统一框架，将广义表示、q-联络、棱柱晶体与q-形变的Higgs丛联系起来，涵盖积分p-进霍奇理论。它证明了棱柱F-晶体与相对Breuil–Kisin–Fargues模在整体情形下的比较定理，并发展了q-联络的迪奥德内理论，统一了相对p-进霍奇理论中多种系数系统。

ABSTRACT

We relate various approaches to coefficient systems in relative integral $p$-adic Hodge theory, working in the geometric context over the ring of integers of a perfectoid field. These include small generalised representations over $A_{ ext{inf}}$ inspired by Faltings, modules with q-connection in the sense of q-de Rham cohomology, crystals on the prismatic site of Bhatt--Scholze, and q-deformations of Higgs bundles.

研究动机与目标

• 统一相对积分p-进霍奇理论中不同系数系统的处理方法。
• 在 $A_{\text{inf}}$ 上建立广义表示与q-联络的几何框架。
• 在整体设定下比较棱柱F-晶体与相对Breuil–Kisin–Fargues模。
• 在积分p-进霍奇理论背景下，为q-联络发展迪奥德内理论。
• 厘清q-形变Higgs丛与棱柱设定下其他系数系统之间的关系。

提出的方法

• 利用Bhatt–Scholze的棱柱谱定义并研究作为系数对象的晶体。
• 在 $A_{\text{inf}}$ 上的模上引入q-联络，作为经典联络的推广。
• 应用相对Breuil–Kisin–Fargues模理论，与棱柱F-晶体进行比较。
• 利用q-de Rham上同调，将q-联络解释为de Rham结构的形变。
• 在棱柱框架下，利用迪奥德内型对应关系发展q-联络的理论。
• 建立棱柱F-晶体与相对Breuil–Kisin–Fargues模之间的整体比较定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在积分p-进霍奇理论中，$A_{\text{inf}}$ 上的广义表示与q-联络之间有何关系？
• RQ2 在整体设定下，棱柱晶体与相对Breuil–Kisin–Fargues模之间的精确关系是什么？
• RQ3 能否在棱柱背景下为q-联络发展迪奥德内理论？
• RQ4 q-形变的Higgs丛如何融入p-进霍奇理论中系数系统的整体框架？
• RQ5 q-联络在多大程度上统一了相对p-进霍奇理论中不同系数系统的处理方法？

主要发现

• 建立了棱柱F-晶体与相对Breuil–Kisin–Fargues模之间的整体比较，扩展了先前的局部比较结果。
• 为q-联络发展了迪奥德内理论，通过线性代数数据对$A_{\text{inf}}$ 上的某些模提供了分类。
• 证明了$A_{\text{inf}}$ 上的广义表示与q-联络相对应，统一了法尔廷斯的方法与q-de Rham上同调。
• 该框架将q-形变的Higgs丛实现为棱柱范畴中的对象，将其与积分p-进霍奇理论联系起来。
• 该理论为棱柱上同调、q-de Rham上同调与经典霍奇理论构造提供了连贯的桥梁。
• 结果推广并统一了相对p-进霍奇理论中若干已知构造，包括Bhatt–Scholze与法尔廷斯的工作。