[论文解读] Generalised Sobolev Stable Flux Reconstruction

Will Trojak|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 32被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种广义Sobolev稳定重构（GSFR）方法，这是一种用于高阶通量重构（FR）格式的新一类对称校正函数，通过引入改进的Sobolev范数，扩展了现有的OSFR和ESFR方法。该方法在时间稳定性方面表现更优，且数值耗散更小。通过理论分析与数值验证，GSFR在各类线性和非线性PDE问题（包括Euler方程和涡旋对流问题）中均展现出更高的CFL极限和更优性能。

ABSTRACT

A new set of symmetric correction functions is presented for high-order flux reconstruction, that expands upon, while incorporating, all previous correction function sets and opens the possibility for improved performance. By considering FR applied to the linear advection equation, and through modification to the Sobolev norm, criteria are presented for a wider set of correction functions. Legendre polynomials are then used to fulfil these criterion and realise functions for third to fifth order FR. The sufficient conditions for the existence of the modified norms are also explored, before Fourier and Von Neumann analysis are applied to analytically find temporal stability limits for various Runge-Kutta temporal integration schemes. For all cases, correction functions are found that extend the temporal stability of FR. Two application-inspired investigations are performed that aim to explore the effect of aliasing and non-linear equations. In both cases unique correction functions could be found that give good performance, compared to previous FR schemes, while also improving upon the temporal stability limit.

研究动机与目标

• 开发一种广义框架，用于在通量重构（FR）中实现稳定校正函数，其适用范围超越现有的OSFR和ESFR方法。
• 通过修改能量稳定性分析中使用的Sobolev范数，提升FR格式的时间稳定性。
• 降低高阶线性和非线性PDE模拟中的数值耗散与混叠误差。
• 在基准问题（包括线性对流和Euler方程）上验证新校正函数的性能。
• 证明GSFR可实现比以往FR方法更高的CFL极限，并在涡旋模拟中更有效地保持动能。

提出的方法

• 基于改进的Sobolev范数，推导广义校正函数框架，以确保在分段Sobolev空间中的能量稳定性。
• 应用勒让德多项式，以满足三至五阶FR格式所推导出的稳定性条件。
• 采用傅里叶分析与冯·诺依曼分析，解析确定各类龙格-库塔格式的时间稳定性极限。
• 通过张量积扩展，将一维FR格式推广至三维，使用六面体单元。
• 在非线性测试案例中，采用Rusanov数值通量并引入特征速度进行通量计算。
• 通过无粘涡旋（ICV）测试案例和线性异质PDE测试，验证性能，以评估混叠与耗散效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否推导出一个广义校正函数集合，使其包含并优于现有的OSFR与ESFR方法？
• RQ2 为确保能量稳定性并生成新校正函数，Sobolev范数需要进行何种修改？
• RQ3 新GSFR框架是否可使龙格-库塔格式的时间稳定性极限（CFL数）更高？
• RQ4 与OSFR和ESFR相比，GSFR在降低线性和非线性PDE中的耗散与混叠误差方面表现如何？
• RQ5 在复杂非线性问题（如含涡旋对流的Euler方程）中，GSFR能否保持稳定性和精度？

主要发现

• 当p = 3时，GSFR在RK44时间积分下相比OSFR实现了更高的CFL极限，且解析稳定性分析证实其时间稳定性更优。
• GSFR校正函数具有唯一性，不包含于OSFR或ESFR集合中，如图11所示的图示交集关系所证实。
• 在ICV测试案例中，GSFR表现出比OSFR更低的动能衰减，尽管DG方法在低波数区域因更低耗散而表现最佳。
• GSFR格式在所有多项式阶次下均成功保持稳定性，并实现了数值精度阶次（OOA）的恢复。
• GSFR校正函数在高波数区域表现出更低的耗散，如图6所示的色散与耗散特性图所示，从而在高阶模拟中表现更优。
• 在线性异质PDE测试中，GSFR实现了高CFL极限与低误差的稳定区域，表明其对混叠效应具有强鲁棒性。