[论文解读] Generalising the scattered property of subspaces

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 32被引用 22

一句话总结

本文通过引入 h-散射子空间——即 Fqn-向量空间中与每个 h-维 Fqn-子空间的交维数至多为 h 的 Fq-子空间——将有限几何中的散射子空间概念进行推广。对于 h > 1，证明了 h-散射子空间的维数上界为 dimFq U ≤ rn/(h+1)，并构造出达到该上界的例子。此外，建立了最大 h-散射子空间与对偶空间中最大 (n−h−2)-散射子空间之间的对偶关系。该工作扩展了关于 1-散射子空间和 MRD 码的已知结果，并对与这些子空间相关的线性集的超平面交集数与等价类提供了完整刻画。

ABSTRACT

Let $V$ be an $r$-dimensional $\mathbb{F}_{q^n}$-vector space. We call an $\mathbb{F}_q$-subspace $U$ of $V$ $h$-scattered if $U$ meets the $h$-dimensional $\mathbb{F}_{q^n}$-subspaces of $V$ in $\mathbb{F}_q$-subspaces of dimension at most $h$. In 2000 Blokhuis and Lavrauw proved that $\dim_{\mathbb{F}_q} U \leq rn/2$ when $U$ is $1$-scattered. Subspaces attaining this bound have been investigated intensively because of their relations with projective two-weight codes and strongly regular graphs. MRD-codes with a maximum idealiser have also been linked to $rn/2$-dimensional $1$-scattered subspaces and to $n$-dimensional $(r-1)$-scattered subspaces. In this paper we prove the upper bound $rn/(h+1)$ for the dimension of $h$-scattered subspaces, $h>1$, and construct examples with this dimension. We study their intersection numbers with hyperplanes, introduce a duality relation among them, and study the equivalence problem of the corresponding linear sets.

研究动机与目标

• 将有限几何中 Fqn-向量空间内的散射子空间概念推广至 h > 1 时的 h-散射子空间。
• 确定 h-散射子空间可能达到的最大维数。
• 构造出达到理论维数上界的 h-散射子空间的显式例子。
• 研究此类子空间在射影空间中与超平面的交集数。
• 在对偶空间中，建立最大 h-散射子空间与最大 (n−h−2)-散射子空间之间的对偶关系。
• 研究与 h-散射子空间相关的线性集在 PΓL(r, qn) 作用下的等价性问题。

提出的方法

• 将 h-散射子空间定义为 r 维 Fqn-向量空间 V 的 Fq-子空间 U，使得每个 h-维 Fqn-子空间与 U 的交集为维数至多为 h 的 Fq-子空间。
• 证明当 h > 1 时，h-散射子空间的维数满足 dimFq U ≤ rn/(h+1)，且等号成立当且仅当 U 为最大 h-散射子空间。
• 通过在超平面中与 U 交于给定维数的 (k+1)-元组点数上使用双重计数法，结合高斯二项式系数与 q-级数恒等式。
• 应用 q-二项式定理与 Carlitz 的 q-二项式反演公式，处理交集大小的求和，证明某些线性组合为零。
• 建立 V(r, qn) 中最大 h-散射子空间（维数为 rn/(h+1)）与对偶空间 V(rn/(h+1)−r, qn) 中最大 (n−h−2)-散射子空间之间的对偶关系。
• 分析在 PΓL(r, qn) 作用下由 h-散射子空间定义的线性集的等价性，证明当 h > 1 时，线性集的等价性与 ΓL(r, qn)-等价性一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 r 维 Fqn-向量空间中，当 h > 1 时，h-散射子空间的最大可能维数是多少？
• RQ2 h-散射子空间维数的上界 rn/(h+1) 是否可实现？若可实现，其条件为何？
• RQ3 h-散射子空间与 PG(r−1, qn) 中的超平面如何相交？这些交集的可能维数有哪些？
• RQ4 在对偶空间中，最大 h-散射子空间与最大 (n−h−2)-散射子空间之间是否存在对偶关系？
• RQ5 在何种条件下，h-散射子空间所关联的线性集在 PΓL(r, qn) 作用下彼此等价？
• RQ6 h-散射子空间的等价性与其所关联线性集的等价性之间有何关系？

主要发现

• 在 V(r, qn) 中，h-散射子空间的最大维数上界为 rn/(h+1)，且当 h+1 整除 r 时该上界是紧的。
• 当 h+1 整除 r 时，存在维数为 rn/(h+1) 的最大 h-散射子空间，其可通过 Fqn^r 中特定的 Fq-线性子空间构造。
• 最大 h-散射子空间与任意超平面的交集维数介于 rn/(h+1) − n 与 rn/(h+1) − n + h 之间。
• 在 V(r, qn) 中的最大 h-散射子空间与在 V(rn/(h+1)−r, qn) 中的最大 (n−h−2)-散射子空间之间建立了对偶关系，使得即使当 h+1 不整除 r 时，也能实现构造。
• 当 h > 1 时，两个 h-散射子空间定义的线性集在 PΓL(r, qn) 下等价，当且仅当它们在 ΓL(r, qn) 下等价，该结果扩展了关于 MRD 码与线性集的早期结论。
• 证明依赖于一种新颖的双重计数方法，涉及高斯二项式系数与 q-级数恒等式，最终证明关键和 A 恒为零，从而推出所需的维数上界。