[论文解读] Generalization of an example of Hartshorne concerning local cohomology

Michael Hellus, Juergen Stueckrad|ArXiv.org|Mar 6, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过证明当 $ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $ 且 $ n \geq 4 $，理想 $ I = (X_1,\dots,X_{n-2})R $，以及 $ (X_{n-1},X_n)R $ 中的素元 $ p $ 时，局部上同调模 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 不是阿廷ian模，推广了哈茨霍恩的经典例子。证明利用了Matlis对偶性，表明对偶模具有无限多个关联素理想，从而违反了阿廷ian模所必需的有限生成性条件。

ABSTRACT

We prove the following generalization of an example of Hartshorne: Let k be a field, n=4, R = k[[X1,...,Xn]], I = (X1,...,Xn-2)R and p\in R a prime element such that p\in(Xn-1,Xn)R. Then H^{n-2}_I (R/pR) is not artinian.

研究动机与目标

• 将哈茨霍恩关于非阿廷ian局部上同调模的经典例子推广到更高维情形。
• 确定在何种条件下，对于域上形式幂级数环，$ H^{n-2}_I(R/pR) $ 不是阿廷ian模。
• 利用Matlis对偶性作为分析局部上同调模结构并检测非阿廷ian行为的工具。
• 比较局部上同调模不成为阿廷ian模的条件，并与Marley和Vassilev对哈茨霍恩例子的推广进行对比。

提出的方法

• 对 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 应用Matlis对偶函子 $ D(-) = \operatorname{Hom}_R(-, E_R(R/\mathfrak{m})) $，将问题转化为研究 $ D(H^{n-2}_I(R)) $。
• 利用Hartshorne-Lichtenbaum消去定理刻画 $ H^{n-2}_I(R/p) \neq 0 $ 的情形，该情形恰好发生在 $ I + p $ 是 $ \mathfrak{m} $-拟素理想时。
• 证明若 $ p \in (X_{n-1}, X_n)R $，则 $ D(H^{n-2}_I(R)) $ 具有无限多个高度为二且包含 $ p $ 的关联素理想。
• 建立 $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ 不是有限生成模，从而推出 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 不是阿廷ian模。
• 构造一族高度为二的素理想 $ p_m $，使得 $ p_m \supseteq I_m = (X_n^l + X_1^m g, X_{n-1} - X_1^m f)R $，表明 $ D $ 中存在无限多个关联素理想。
• 利用 $ D(-) $ 的正合性以及 $ H^{n-2}_I(-) $ 的右正合性，将 $ D(H^{n-2}_I(R/pR)) $ 与 $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $，$ n \geq 4 $，且 $ p \in (X_{n-1},X_n)R $ 时，$ H^{n-2}_I(R/pR) $ 在何种条件下不是阿廷ian模？
• RQ2 Matlis对偶性如何帮助检测局部上同调模中的非阿廷ian行为？
• RQ3 哈茨霍恩的例子能否推广到具有类似非阿廷ian行为的高维形式幂级数环？
• RQ4 $ D(H^{n-2}_I(R)) $ 的关联素理想数量与 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 的阿廷ian性质之间存在何种关系？
• RQ5 本文的条件与Marley和Vassilev对哈茨霍恩例子推广的条件相比有何异同？

主要发现

• 当 $ n \geq 4 $，$ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $，$ I = (X_1,\dots,X_{n-2})R $，且 $ p \in (X_{n-1},X_n)R $ 为素元时，$ H^{n-2}_I(R/pR) $ 不是阿廷ian模。
• 当 $ p \in (X_{n-1},X_n)R $ 时，Matlis对偶模 $ D(H^{n-2}_I(R)) $ 具有无限多个高度为二的关联素理想，且所有这些素理想都包含 $ p $。
• $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ 不是有限生成模，这表明 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 不可能是阿廷ian模。
• 支持集条件 $ \operatorname{Supp}_R(H^{n-2}_I(R/pR)) \subseteq \{\mathfrak{m}\} $ 成立，但其挠子模不是有限生成的，违反了阿廷ian模的判定准则。
• 构造过程产生了无限多个不同的高度为二的素理想 $ p_m \in \operatorname{Ass}_R(D(H^{n-2}_I(R))) $，且满足 $ p_m \supseteq I_m $，从而证明了关联素理想的无限性。
• 即使当 $ k $ 为有限域时，结论依然成立，因为无限多个关联素理想是通过在 $ I_m $ 的构造中改变 $ m \in \mathbb{N}^+ $ 而产生的。