[论文解读] Generalization of Cox functor

Isamu Iwanari|arXiv (Cornell University)|May 1, 2007

Advanced Topics in Algebra被引用 4

一句话总结

本文通过在概形上引入(∆, ∆₀)-族，将Cox的典型塔里克概形的函子性构造推广至塔里克堆栈的设定，将经典Cox函子的范围扩展至非光滑情形。关键结果是，该广义函子表示了与堆栈扇形(∆, ∆₀)相关的塔里克堆栈，从而解决了原始函子在奇异情形下失效的问题。

ABSTRACT

In [1], given a fan ∆ and a scheme Y, Cox defines notions of ∆-collections on Y and equivalences between them. Then he showed that the functor F ∆ : Y ↦ → {∆-collections on Y} / ∼ represents the toric variety X ∆ if ∆ is non-singular (we shall call F ∆ Cox functor). This successfully generalizes Grothendieck’s definition of a projective space P n, and it is closely related to the quotient presentation. As mentioned in [1, page 261], unfortunately, if ∆ is singular the functor F ∆ fails to represent the toric variety X∆, and it was proposed to consider the general case. The purpose of this short note is to generalize the notion of Cox functor. If one work not in classical toric geometry but in toric stacks ([4], [5]), one has a natural generalization of the main result of [1]. We refer to [5] for basic definitions concerning toric stacks and stacky fans. Set N = Z d and M = HomZ(N, Z). Let 〈•, • 〉 be the dual pairing. Let ( ∆ ⊂ N ⊗Z R, ∆ 0) be a stacky fan and Y a scheme. Denote by ∆(1) the set of rays. Denote by nρ the generator of ∆ 0 on ρ (cf. [5, section 2]). Finally, let ∆max denote the set of maximal cones in ∆. Definition 1.1. A (∆, ∆ 0)-collection on Y is a triple ({Lρ}ρ∈∆(1), {uρ}ρ∈∆(1), {cm: ⊗ρL ⊗〈m,nρ〉 ρ

研究动机与目标

• 将Cox的塔里克概形函子性构造推广至奇异扇形的情形，通过将其推广至塔里克堆栈。
• 解决经典Cox函子在∆为奇异时无法表示X∆的问题。
• 通过堆栈扇形与(∆, ∆₀)-族，定义Cox函子的自然推广。
• 建立广义函子表示与堆栈扇形(∆, ∆₀)相关联的塔里克堆栈。

提出的方法

• 在概形Y上引入(∆, ∆₀)-族的概念，其由线丛{Lρ}ρ∈∆(1)、截面{uρ}ρ∈∆(1)以及与m ∈ M相关的态射cm组成。
• 利用堆栈扇形(∆ ⊂ N ⊗Z R, ∆₀)，其中包含射线生成元nρ及∆₀提供的数据，定义该族的结构。
• 通过M × N上的对偶配对〈·, ·〉，利用〈m, nρ〉定义线丛的张量幂。
• 构造函子F∆,∆₀: Y ↦ → { (∆, ∆₀)-族在Y上 } / ∼，广义化经典Cox函子。
• 依赖于文献[5]中塔里克堆栈的基础定义，特别是∆₀在射线处编码堆栈结构的作用。
• 证明该函子表示与堆栈扇形(∆, ∆₀)相关联的塔里克堆栈，广义化了光滑扇形的经典结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典Cox函子如何推广以处理奇异塔里克概形？
• RQ2 通过函子性构造表示塔里克堆栈需要何种结构？
• RQ3 堆栈扇形(∆, ∆₀)如何自然地扩展概形上的∆-族概念？
• RQ4 堆栈数据∆₀在定义广义Cox函子中起什么作用？
• RQ5 广义函子在奇异情形下是否仍表示相关联的塔里克堆栈？

主要发现

• 广义函子F∆,∆₀: Y ↦ → { (∆, ∆₀)-族在Y上 } / ∼ 表示与堆栈扇形(∆, ∆₀)相关联的塔里克堆栈。
• 该构造成功将经典Cox函子推广至非光滑情形，其中原始函子无法表示X∆。
• 使用堆栈数据∆₀使得定义明确的广义化得以实现，从而在扇形的射线上编码堆栈结构。
• 函子通过线丛{Lρ}、截面{uρ}以及态射cm: ⊗ρ Lρ⊗〈m,nρ〉 → OY 定义，构成一个一致的系统。
• 该表示关系在塔里克堆栈的语境下成立，广义化了格罗滕迪克的射影空间构造。
• 该结果建立了与经典情形类似的塔里克堆栈函子性框架，即使在∆为奇异时依然有效。